20 câu Trắc nghiệm Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 24: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

I. Nhận biết

Câu 1. Một hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là:

A. một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1);

B. một cách sắp xếp có thứ tự n – 1 phần tử (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1);

C. một cách sắp xếp có thứ tự k (k < n) phần tử (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1);

D. một cách sắp xếp có thứ tự n + 1 phần tử (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Một hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1).

Câu 2. Điểm giống và khác giữa chỉnh hợp và tổ hợp là:

A. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn tất cả các phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là chỉnh hợp là chọn sắp thứ tự, tổ hợp là chọn không sắp thứ tự;

B. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn một số phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là chỉnh hợp là chọn sắp thứ tự, tổ hợp là chọn không sắp thứ tự;

C. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn tất cả các phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là tổ hợp là chọn sắp thứ tự, chỉnh hợp là chọn không sắp thứ tự;

D. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn một số phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là tổ hợp là chọn sắp thứ tự, chỉnh hợp là chọn không sắp thứ tự;

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Điểm giống và khác giữa chỉnh hợp và tổ hợp là chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn một số phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là chỉnh hợp là chọn sắp thứ tự, tổ hợp là chọn không sắp thứ tự.

Câu 3. Giá trị 6! là:

A. 6;

B. 30;

C. 48;

D. 720.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 6! =6.5.4.3.2.1 = 320

Câu 4. Một tổ gồm 3 học sinh nữ và 7 học sinh nam. Số cách để sắp xếp số học sinh trong tổ thành một hàng dọc là:

A. 3! + 7!;

B. 10!;

C. 3!.7!;

D. 21.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh trong tổ thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 học sinh đó

Vậy có số cách để sắp xếp số học sinh trong tổ thành hàng dọc là 10!

Câu 5. Với k và n là hai số nguyên dương tuỳ ý thoả mãn 0 ≤ k ≤ n. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ ;

B. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!}$ ;

C. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ ;

D. $C_{n}^{k} = \frac{k! (n - k)!}{n!}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Số các tổ hợp chập k của n được tính bằng công thức : $C_{n}^{k} = \frac{k! (n - k)!}{n!}$ (0 ≤ k ≤ n).

II. Thông hiểu

Câu 1. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như khác nhau). Người ta muốn chọn ra một bó gồm 7 bông . Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ:

A. 120;

B. 130;

C. 140;

D. 150.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ có 3 phương án thực hiện như sau:

+ Phương án 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng có: $C_{5}^{3} . C_{4}^{3} . C_{3}^{1}$ = 120 cách

+ Phương án 2: Chọn 4 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ có: $C_{5}^{4} . C_{4}^{3}$ = 20 cách

+ Phương án 3: Chọn 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ có: $C_{5}^{3} . C_{4}^{4}$ = 10 cách

Vậy có: 120 + 20 + 10 = 150 cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

Câu 2. Tập hợp E ={1; 2; 5; 7; 8}. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được lấy từ tập hợp E

A. 36;

B. 24;

C. 12;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm có dạng $\bar{a b c} (a \neq 0)$

– Chọn c ∈ {2; 8} có 2 cách chọn

– Chọn a, b :

Mỗi cách chọn 2 số từ 4 số còn lại và sắp xếp vào vị trí a , b là một chỉnh hợp chập 2 của 4

Do đó, có: $A_{4}^{2}$ = 12 cách

Vậy có 2.12 =24 số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được lấy từ tập hợp E.

Câu 3. Một lớp học có 20 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất một học sinh là nữ?

A. 1140;

B. 2920;

C. 1900;

D. 900.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 30 . Do đó, số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 30 học sinh của lớp học là: $C_{30}^{3}$ = 4060

Mỗi cách chọn 3 học sinh nam từ 20 học sinh nam là một tổ hợp chập 3 của 20 . Do đó, số cách chọn 3 học sinh nam từ 20 học sinh nam của lớp học là: $C_{20}^{3}$ = 1140

Vậy số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 4060 – 1140 = 2920 cách.

Câu 4. Sắp xếp năm bạn học sinh An; Bình; Chi; Lệ ; Dũng vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho Chi luôn ngồi chính giữa là:

A. 24;

B. 120;

C. 60;

D. 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Để bạn Chi ngồi ở giữa chỉ có 1 sự lựa chọn

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Vậy có 1.24 = 24 cách xếp.

Câu 5. Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I và 7 bóng đèn loại II. Các bóng đèn khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kì. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II

A. 246;

B. 3480;

C. 245;

D. 3360.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Để số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II có 3 phương án:

+ Phương án 1: 3 bóng đèn loại I và 2 bóng đèn loại II có $C_{5}^{3} . C_{7}^{2}$ = 210 cách

+ Phương án 2: 4 bóng đén loại I và 1 bóng đèn loại II có: $C_{5}^{4} . C_{7}^{1}$ = 35 cách

+ Phương án 3: 5 bóng đèn loại I có 1 cách

Áp dụng quy tắc cộng có 210 + 35 + 1 = 246 khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II .

Câu 6. Lớp 10A có 38 học sinh. Giáo viên muốn chọn 3 bạn học sinh cho 3 vị trí ban cán sự. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách lựa chọn?

A. 114;

B. 50616;

C. 8436;

D. 38!.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 38 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 38

Vậy có = 8436 cách chọn 3 học sinh cho vị trí ban cán sự.

Câu 7. Cho tập hợp E gồm 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E?

A. 100;

B. 80;

C. 45;

D. 90.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Mỗi tập hợp con 8 phần tử của tập hợp được tạo thành là một tổ hợp chập 8 của 10

Vậy số tập hợp con có 8 phần tử của E là: $C_{10}^{8} = 45$

Câu 8. Trong một kì thi THPT Quốc gia tại một điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân công trực hướng dẫn thí sinh thi ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 người đó.

A. 120;

B. 625;

C. 3125;

D. 80.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Sắp xếp 5 sinh viên vào 5 vị trí là một hoán vị của 5

Vậy có 5! = 120 cách phân công vị trí cho 5 sinh viên

Câu 9. Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp S?

A. 360;

B. 120;

C. 15;

D. 20.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Mối cách chọn ra 4 chữ số khác nhau từ tập S và sắp xếp để tạo thành số có 4 chữ số là một chỉnh hợp chập 4 của 6

Vậy có $A_{6}^{4}$ = 360 số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành từ 4 chữ số khác nhau của tập hợp S

Câu 10. Cho lục giác ABCDEF. Có bao nhiêu vectơ khác , có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của lục giác.

A. 6²;

B. 2⁶;

C. $C_{6}^{2}$ ;

D. $A_{6}^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Mỗi cách chọn 2 đỉnh trong 6 đỉnh để sắp xếp thành một vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của 6

Vậy có $A_{6}^{2}$ vectơ khác $\vec{0}$ , có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của lục giác ABCDEF

III. Vận dụng

Câu 1. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp xem phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang ghế số chẵn, 3 vé mang ghế số lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để thoả mãn các yêu cầu của các bạn đó

A. 36;

B. 180;

C. 72;

D. 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Xếp hai bạn vào 2 trong 3 ghế mang số chẵn có $A_{3}^{2}$ cách.

Xếp hai bạn vào 2 trong 3 ghế mang số lẻ có $A_{3}^{2}$ cách.

Xếp 2 bạn vào 2 vị trí còn lại có 2! cách.

Vậy số cách sắp xếp để thoả mãn yêu cầu của các bạn đó là: 2!. $A_{3}^{2}$ . $A_{3}^{2}$ = 72 cách.

Câu 2. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?

A. 10;

B. 30;

C. 6;

D. 60.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Vì mỗi lọ cắm không quá một bông nghĩa là 3 bông hoa sẽ được cắm vào 3 lọ khác nhau

Như vậy mỗi cách chọn 3 lọ hoa trong 5 lọ để cắm hoa là một tổ hợp chập 3 của 5.

Vậy có cách để cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ hoa.

Câu 3. Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} 2 A_{y}^{x} + 5 C_{y}^{x} = 90 \\ 5 A_{y}^{x} - 2 C_{y}^{x} = 80 \end{cases}$

A. x = 1, y = 3;

B. x = 1, y = 5;

C. x = 2, y = 1;

D. x = 2, y = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện: x, y ∈ ℕ; x ≤ y

Ta có: $\{\begin{cases} 2 A_{y}^{x} + 5 C_{y}^{x} = 90 \\ 5 A_{y}^{x} - 2 C_{y}^{x} = 80 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} A_{y}^{x} = 20 \\ C_{y}^{x} = 10 \end{cases}$

Ta có: $A_{y}^{x} = x! C_{y}^{x}$ hay 20 = x!.10 ⇒ x! = 2 ⇒ x = 2

Mặt khác, ta có: $A_{y}^{2} = 20$

⇔ $\frac{y!}{(y - 2)!} = 20$

⇔ $\frac{(y - 2)! . (y - 1) . y}{(y - 2)!} = 20$

⇔ y(y – 1) = 20

⇔ y² – y – 20 = 0

⇔ $[\begin{array}{l} y = 5 \\ y = - 4 \end{array}$

Theo điều kiện chọn y = 5

Vậy x = 2 và y = 5.

Câu 4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB; CD; DA lần lượt lấy 1; 2; 3 và n điểm phân biệt n ≥ 3 khác A; B; C; D. Tìm n biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm trên là 439:

A. n =12;

B. n = 20;

C. n = 10;

D. n = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Chọn 3 điểm bất kì trong n + 6 điểm đã cho có $C_{n + 6}^{3}$ cách

Trên cạnh CD chọn ra được 1 bộ ba điểm thẳng hàng.

Trên cạnh DA chọn được $C_{n}^{3}$ bộ ba điểm thẳng hàng.

Vì mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng.

Nên số tam giác được tạo thành là $C_{n + 6}^{3}$ – $C_{n}^{3}$ – 1 = 439

⇔ $C_{n + 6}^{3} - C_{n}^{3}$ = 440
⇔ $\frac{(n + 6)!}{3! (n + 3)!} - \frac{n!}{3! (n - 3)!}$ = 440

⇔ $\frac{(n + 6) (n + 5) (n + 4) (n + 3)!}{6 (n + 3)!} - \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)!}{6 (n - 3)!}$ = 440

⇔ $\frac{(n + 6) (n + 5) (n + 4)}{6} - \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6}$ = 440

⇔ (n + 6)(n + 5)(n + 4) – n(n – 1)(n – 2) = 2640

⇔ n³ + 15n² + 74n + 120 – (n³ – 3n² + 2n) = 2640

⇔18n² + 72n + 120 = 2640

⇔ n² + 4n – 140 = 0

⇔ $[\begin{array}{l} n = 10 \\ n = - 14 \end{array}$

Vậy n = 10.

Câu 5. Tìm n ∈ ℕ sao cho: $A_{n}^{2} + 3 C_{n - 1}^{1} = 45$ .

A. n = 6;

B. n = 8;

C. n = 10;

D. n = 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Điều kiện : n ≥ 2; n ∈ ℕ

Ta có: $A_{n}^{2} + 3 C_{n - 1}^{1} = 45$

⇔ $\frac{n!}{(n - 2)!} + 3 \frac{(n - 1)!}{1! (n - 2)!} = 45$

⇔ $\frac{(n - 2)! (n - 1) n}{(n - 2)!} + 3 \frac{(n - 2)! (n - 1)}{(n - 2)!} = 45$

⇔ $(n - 1) n + 3 (n - 1) = 45$

⇔ n² + 2n + 48 = 0

⇔ $[\begin{array}{l} n = 6 \\ n = - 8 \end{array}$

Theo điều kiện thì n = 6.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 23: Quy tắc đếm

Trắc nghiệm Bài 24: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

Trắc nghiệm Bài 25: Nhị thức Newton

Trắc nghiệm Bài ôn tập cuối chương 8

Trắc nghiệm Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy