20 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1. Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương.

A. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một góc tù;

B. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc bẹt;

C. Khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 0⁰;

D. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0$ nên dấu của $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Câu 2. Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

A. $\vec{u} . \vec{v}$ = 0;

B. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0° hoặc 180°;

C. $\vec{u} . \vec{v}$ = 1;

D. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})$

$\Leftrightarrow {(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {[|\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} . c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v})$

Để ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2}$ thì $c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c os (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ c os (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0} \end{array}$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} .$

Câu 3. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

A. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ;

B. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4}$ ;

C. $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ;

D. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B} . \vec{A C}) = A B . A C . \cos B A C = b c . c osBAC$

Theo định lí cos, ta có:

$cosBAC= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\vec{A B} . \vec{A C} = b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} .$

Câu 4. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} (1; - 3), \vec{v} (\sqrt{7}; - 2)$ là k. Nhận xét nào sau đây đúng về giá trị của k.

A. k chia hết cho 2;

B. k là một số hữu tỉ;

C. k là một số nguyên dương;

D. k là một số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $k = \vec{u} . \vec{v} = 1. \sqrt{7} + (- 3) . (- 2) = \sqrt{7} + 6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong trường hợp $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4)$ .

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$

16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{a} (1; - 1)$ và $\vec{b} (- 1; 1)$ .

B. $\vec{n} (1; 1)$ và $\vec{k} (2; 0)$ .

C. $\vec{u} (2; 3)$ và $\vec{v} (4; 6)$ .

D. $z (a; b)$ và $\vec{t} (- b; a)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 1 + (- 1) = - 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{n}, \vec{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \neq 0.$ Suy ra hai vecto > $\vec{u}, \vec{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = - a b + a b = 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{z}, \vec{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Câu 7. Góc giữa vectơ $\vec{a} (- 1; - 1)$ và vecto $\vec{b} (- 1; 0)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- 1) . (- 1) + (- 1) .0 = 1, |\vec{a}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}, |\vec{b}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}} = 1.$

$\Rightarrow c o s (\vec{a} . \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a} . \vec{b}) = 45 ° .$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là 45°.

Câu 8. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{0} .$

B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2} .$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2} .$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a $\sqrt{2}$ .

Ta có $\vec{A B} (a; 0)$ , $\vec{B D} (- a; a)$ , $\vec{A C} (a; a)$ , $\vec{B C} (0; a)$ , $\vec{B A} (- a; 0)$ .

Khi đó:

+) $\vec{A B} . \vec{B D} = a . (- a) + 0. a = - a^{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{B D}}{|\vec{A B}| . |\vec{B D}|} = \frac{- a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B D}) = 135^{0} .$ Do đó A sai.

+) $\vec{A C} . \vec{B C}$ > = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = \frac{\vec{A C} . \vec{B C}}{|\vec{A C}| . |\vec{B C}|} = \frac{a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0} .$ Do đó B đúng

+) $\vec{A C} . \vec{B D} = a . (- a) + a . a = 0$ . Do đó C sai.

+) $\vec{B A} . \vec{B D}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Câu 9. Khi nào thì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc?

A. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1;

B. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = – 1;

C. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0;

D. a.b = -1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc khi $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 3), B(0; 4) và C(2x – 1; 3x²). Tổng các giá trị của x thỏa mãn $\vec{A B} . \vec{A C} = 2$

A. $\frac{- 2}{3}$ ;

B. $\frac{- 8}{3}$ ;

C. $\frac{- 5}{3}$ ;

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\vec{A B} (1; 1), \vec{A C} (2 x; 3 x^{2} - 3)$ .

Khi đó: $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{5}{3} \end{array}$

Tổng hai nghiệm là 1 + $(- \frac{5}{3})$ = $\frac{3}{3} + (- \frac{5}{3}) = - \frac{2}{3} .$

Vậy tổng hai nghiệm là $- \frac{2}{3} .$

Câu 11. Cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² + IA²;

B. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² + 2 IA²;

C. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² – IA²;

D. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ 2MI² + IA².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vì I là trung điểm của AB nên ta có: $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ hay $\vec{I B} = - \vec{I A}$ .

Xét $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M I} + \vec{I A}) . (\vec{M I} + \vec{I B})$

$= {\vec{M I}}^{2} + \vec{M I} . \vec{I B} + \vec{M I} . \vec{I A} + \vec{I B} . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} + \vec{M I} . (\vec{I B} + \vec{I A}) + \vec{I B} . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} + (- \vec{I A}) . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} - {\vec{I A}}^{2}$

$= M I^{2} - I A^{2}$ .

Câu 12. Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 11,4;

B. 6,7;

C. 5,7;

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow A B = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10} .$

$\vec{A C} (9; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

$\vec{B C} (0; 9) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9.$

Ta lại có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 9.9 + (- 3) .6 = 3 \sqrt{10} .3 \sqrt{13} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 63 = 9 \sqrt{130} . c o s \hat{B A C}$ >

$\Leftrightarrow c o s \hat{B A C} = \frac{7}{\sqrt{130}} \Leftrightarrow \hat{B A C} \approx 52, 13 ° .$

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta được:

$\frac{B C}{\sin \hat{B A C}} = 2 R \Leftrightarrow \frac{9}{\sin 52, 13 °} = 2 R \Leftrightarrow R \approx 5, 7$ .

Câu 13. Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}| .$

A. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng;

B. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ cùng hướng;

C. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ vuông góc;

D. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -3), B(5; 2). Tìm điểm M thuộc tia Oy để góc $\hat{A M B} = 90^{0} .$

A. $M (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; 0)$ ;

B. $M (\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$ ;

C. $M (0; \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2})$ ;

D. $M (0; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: $\vec{A M} (- 1; m + 3), \vec{B M} (- 5; m - 2)$ .

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (- 1) . (- 5) + (m + 3) . (m - 2) = m^{2} + m - 1.$

Để $\hat{A M B} = 90^{0}$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Ta thấy $m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) và $m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ (không thỏa mãn)

Vậy $M (0; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Câu 15. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Với điểm M bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?

A. MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC²;

B. MA² + MB² + MC² = 3MG²;

C. MA² + MB² + MC² = 3MG² + (GA + GB + GC)²;

D. MA² + MB² + MC² = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = \vec{M G} . \vec{0} = 0$

$\Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} .$

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-3;1), B(2;4), C(2;-2). Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC. Tính S = 5x + y.

A. $\frac{6}{5}$ ;

B. $\frac{26}{5}$ ;

C. 2;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\vec{A H} (x + 3; y - 1); \vec{B C} (0; - 6); \vec{B H} (x - 2; y - 4); \vec{A C} (5; - 3)$

Vì $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow (x + 3) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Vì $B H ⊥ A C \Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow (x - 2) .5 + (y - 4) . (- 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5 x - 10 - 3 y + 12 = 0$

$\Leftrightarrow 5 x - 3 y = - 2$

Mà y = 1 $\Rightarrow 5 x - 3.1 = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5} .$

Suy ra S = 5. $\frac{1}{5}$ + 1 = 2.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4: Vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy