Sách bài tập Toán 10 Bài 8 (Kết nối tri thức): Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 50 Tập 1

Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Chứng minh rằng:

$|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Lời giải:

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{B C}$

Sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khi đó ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc ba điểm)

Do đó:

Sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay $|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Vậy $|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| .$

Bài 4.8 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.

a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và $\hat{A D O} = \hat{C B O}$

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

$\hat{D O N} = \hat{B O M}$ (hai góc đối đỉnh),

$\hat{N D O} = \hat{M B O}$ (do $\hat{A D O} = \hat{C B O}$ )

Þ ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

Þ ON = OM (hai cạnh tương ứng)

Þ O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

$\Rightarrow (\vec{G M} + \vec{M B}) + \vec{G C} + (\vec{G N} + \vec{N D}) = \vec{0}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{G M} + \vec{M B} + \vec{G C} + \vec{G N} + \vec{N D} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} + (\vec{M B} + \vec{N D}) = \vec{0}$ (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

Þ BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{B M} = \vec{N D}$ $\Rightarrow - \vec{M B} = \vec{N D}$

$\Rightarrow \vec{M B} + \vec{N D} = \vec{0}$

Thay vào (*) ta được $\vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} + \vec{0} = \vec{0}$

Do đó $\vec{G M} + \vec{G C} + \vec{G N} = \vec{0}$

Þ G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Bài 4.9 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B} .$

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B} .$

Giải SBT Toán 10 trang 51 Tập 1

Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA. AB.

a) Xác định vectơ $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E} .$

b) Xác định điểm M thoả mãn $\vec{AF} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{M A} .$

c) Chứng minh rằng $\vec{M C} = \vec{A B} .$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E}$

$= \vec{A F} + \vec{D B} + \vec{C E}$

$= \vec{A F} + \vec{D B} + \vec{E A}$ (vì E là trung điểm AC nên $\vec{C E} = \vec{E A}$ )

$= (\vec{E A} + \vec{A F}) + \vec{D B}$

$= \vec{E F} + \vec{D B}$

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Þ EF // BC và $E F = \frac{1}{2} B C$

Mà D là trung điểm của BC nên $B D = \frac{1}{2} B C$

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, $EF = B D (= \frac{1}{2} B C)$

Þ EFBD là hình bình hành

Þ $\vec{E F} = \vec{D B}$

Khi đó: $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E}$ $= \vec{E F} + \vec{D B}$

$= \vec{D B} + \vec{D B}$

$= 2 \vec{D B}$

$\vec{C B}$ (do D là trung điểm của BC)

Vậy $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{C B} .$

b) Điểm M thoả mãn $\vec{AF} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{M A} .$

Mà $\vec{A F} - \vec{B D} + \vec{C E} = \vec{C B}$ (câu a)

Nên $\vec{M A} = \vec{C B}$

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.

c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)

Nên $\vec{M C} = \vec{A B}$ (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy $\vec{M C} = \vec{A B} .$

Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A.

Sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Cho biết $|\vec{F_{1}}| = 30 N, |\vec{F_{2}}| = 40 N .$ Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}} .$

Lời giải:

Ta sử dụng các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ và $\vec{A E}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ và hợp lực $\vec{F}$ của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có $\hat{B A C} = 90 °$ nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó $|\vec{F}| = |\vec{A E}| = A E = \sqrt{A B^{2} + B E^{2}}$ (định lí Pythagoras)

Hay $|\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + {|\vec{F_{2}}|}^{2}} = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50$ (N).

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực $\vec{F}$ và $\vec{F_{3}}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\vec{A E}$ và $\vec{A D}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ bằng $|\vec{F_{3}}| = |\vec{F}| = 50 (N)$

Vậy cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ bằng 50 N.

Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ bằng 60°. Tính độ lớn của $\vec{F_{3}}$ , biết $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}| = 2 \sqrt{3} N .$

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khi đó do $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ bằng 60° nên $\hat{B A C} = 60 °$

Suy ra

$\hat{E C A} = 180 ° - \hat{B A C} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE² = AC² + EC² – 2.AC.EC.cos $\hat{E C A}$

Hay $A E^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2} - 2.2 \sqrt{3} .2 \sqrt{3} . c os120 °$

Þ AE² = 36

Þ AE = 6

Do đó $|\vec{F}| = 6 (N)$

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\vec{F_{}}$ và $\vec{F_{3}}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\vec{A E}$ và $\vec{A D}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực $\vec{F_{3}}$ bằng $|\vec{F_{3}}| = |\vec{F}| = 6 (N)$

Vậy độ lớn của lực $\vec{F_{3}}$ bằng 6 N.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy