Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Cánh diều): Phương trình lượng giác cơ bản

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 48 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin x = 1 $\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là:

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π) nên số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.

Bài 50 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$  có các nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cos x=-\frac{1}{2}$$\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

Bài 51 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  là:

A. 0 ≤ m < 1.

B. 0 ≤ m ≤ 1.

C. 0 < m ≤ 1.

D. 0 < m < 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = m.

Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = cos x khi m ∈ (0; 1].

Do đó, Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng (-π/2;π/2) là $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  là 0 < m ≤ 1.

Bài 52 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = − 1 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:                                            

Đáp án đúng là: B

Ta có tan x = − 1 $\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 53 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cot x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có cot x = 0 $\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 54 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x – cos x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (*)

Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin² x + cos² x = 1 nên (*) tương đương với tan x = 1, tức là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 55 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình $\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0$  có các nghiệm là:

A. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0$

$\iff \sqrt{3}\left(\cos x+\sqrt{3}\sin x\right)=0$

$\iff \cos x+\sqrt{3}\sin x=0$

$\iff \frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=0$

$\iff \cos \frac{\pi }{3}\cos x+\sin \frac{\pi }{3}\sin x=0$

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0$

$\iff \frac{\pi }{3}-x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 56 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình $\cos 2x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$  có các nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos 2x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Bài 57 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin 3x = cos x có các nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có sin 3x = cos x

$\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

Bài 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ ;

d) $2\cos x+\sqrt{3}=0$ ;

e) $\sqrt{3}\tan x-1=0$ ;

g) $\cot \left(x+\frac{\pi }{5}\right)=1$ .

Lời giải:

a) Do $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  nên $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \sin 3x=\sin \frac{\pi }{3}$

b) Do $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  nên  $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\iff \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

c) Do $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$  nên $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ $\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}$

d)   $2\cos x+\sqrt{3}=0$

$\iff \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{5\pi }{6}$  (do $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ )

$\iff x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

e)  $\sqrt{3}\tan x-1=0$

  $\iff \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 $\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{6}$   (do $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

g) Do $\cot \frac{\pi }{4}=1$  nên $\cot \left(x+\frac{\pi }{5}\right)=1$ $\iff \cot \left(x+\frac{\pi }{5}\right)=\cot \frac{\pi }{4}$

$\iff x+\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{20}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm góc lượng giác x sao cho:

a) sin 2x = sin 42°;

b) sin(x – 60°) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

c) cos(x + 50°) = $\frac{1}{2}$ ;

d) cos 2x = cos (3x + 10°);

e) tan x = tan 25°;

f) cot x = cot (– 32°).

Lời giải:

a) sin 2x = sin 42°

b) Do $\sin \left(-60°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  nên sin(x – 60°) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇔ sin(x – 60°) = sin(– 60°)

c) Do $\cos 60°=\frac{1}{2}$  nên cos(x + 50°) = $\frac{1}{2}$  ⇔ cos(x + 50°) = cos 60°

d) cos 2x = cos (3x + 10°)

e) tan x = tan 25°

⇔ x = 25° + k180° (k ∈ ℤ).

f) cot x = cot (– 32°)

⇔ x = – 32° + k180° (k ∈ ℤ).

Bài 60 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ;

b) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ ;

c) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ ;

d) ${\cos }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ;

e) cos x + sin x = 0;

g) sin x – $\sqrt{3}$ cos x = 0.

Lời giải:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

b)  $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

c)  ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$

 $\iff \frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{1-\cos \left(4x+\pi \right)}{2}$(Sử dụng công thức hạ bậc)

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(4x+\pi \right)$.

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d)  ${\cos }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff \frac{1+\cos \left(4x+\pi \right)}{2}=\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}$    (sử dụng công thức hạ bậc)

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=-\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}+\pi \right)$    (sử dụng quan hệ hơn kém π)

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=\cos \left(2x+\frac{4\pi }{3}\right)$

e) cos x + sin x = 0

⇔ cos x = – sin x

⇔ tan x = – 1

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. 

g) sin x – $\sqrt{3}$ cos x = 0

$\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0$

$\iff \sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=0$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff x-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Dùng đồ thị hàm số y = sin x, y = cos x để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π];

b) $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 trên khoảng (– 4π; 0).

Lời giải:

a) Ta có 5sin x – 3 = 0 $\iff \sin x=\frac{3}{5}$ .

Do đó, số nghiệm của phương trình 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng $\iff \sin x=\frac{3}{5}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng $y=\frac{3}{5}$  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [– π; 4π].

b) Ta có $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 $\iff \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Do đó, số nghiệm của phương trình $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0).

Bài 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (0 ≤ t ≤ 24) được cho bởi công thức $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$  với m, a là các số thực dương cho trước.

a) Tìm m, a.

b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Lời giải:

a) Ta có $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le 1$  với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên $m-a\le m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le m+a$ .

Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$  và thấp nhất bằng m – a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$ .

Theo giả thiết, ta có: 

Vậy m = 13 và a = 3.

b) Từ câu a) ta có công thức $h=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\mathrm{11,5}$ $\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$ 

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.

Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.