Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Đường thẳng và mặt phằng trong không gian

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phằng trong không gian

Bài 1 trang 94 SBT Toán 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SC. Trong các mặt phẳng sau, điểm M nằm trên mặt phẳng nào?

A. (ABCD)                       

B. (SAC)                 

C. (SAB)             

D. (SAD)

Lời giải:

Theo hình vẽ, ta thấy SC nằm trong mặt (SAC).

Do $M\in SC$ nên M nằm trên mặt phẳng (SAC).

Đáp án đúng là B.

Bài 2 trang 94 SBT Toán 11: Cho hình tứ diện ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (CDA) là đường thẳng:

A. AB                       

B. BD             

C. CD             

D. AC

Lời giải:

Xét hai mặt phẳng (ABC) và (CDA), ta nhận thấy hai mặt phẳng này có hai điểm chung là A và C, do đó giao tuyến của hai mặt phẳng này là AC.

Đáp án đúng là D.

Bài 3 trang 94 SBT Toán 11: Một đồ vật trang trí có bốn mặt phân biệt là các tam giác (xem hình dưới đây). Vẽ hình hiểu diễn của đồ vật đó.

Lời giải:

Do đồ vật trang trí có 4 mặt là các tam giác, nên nó có hình dạng một tứ diện.

Hình biểu diễn của nó như sau:

Bài 4 trang 94 SBT Toán 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Lời giải:

Do $N$ là trung điểm của $BC$, nên 4 điểm $B$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong mặt phẳng.

Giả sử 4 điểm $M$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Điều này có nghĩa là $M\in \left(NCD\right)$.

Do bốn điểm $B$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong mặt phẳng, ta suy ra $M\in \left(BCD\right)$.

Điểm $M$ và điểm $B$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left(BCD\right)$, nên $BM\subset \left(BCD\right)$.

Mặt khác, do $M$ là trung điểm của $AB$, nên $A\in BM$.

Suy ra $A\in \left(BCD\right)$. Điều này là vô lí do $ABCD$ là tứ diện nên bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Bài 5 trang 95 SBT Toán 11: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d và hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong (P), (Q). Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng a, b cắt nhau thì giao điểm của chúng thuộc đường thẳng d.

Lời giải:

Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$. Suy ra $\{\begin{array}{l}I\in a\\ I\in b\end{array}$

Vì $a\subset \left(P\right)$ và $b\subset \left(Q\right)$, ta suy ra $\{\begin{array}{l}I\in \left(P\right)\\ I\in \left(Q\right)\end{array}$, tức là $I$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Mà $\left(P\right)\cap \left(Q\right)=d$, suy ra $I\in d$.

Bài toán được chứng minh.

Bài 6 trang 95 SBT Toán 11: Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC,CD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $CE=3EA,DF=2FC$.

a)    Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left(BEF\right)$ với các mặt phẳng $\left(ABC\right)$, $\left(ACD\right)$, $\left(BCD\right)$.

b)    Xác định giao điểm $K$ của đường thẳng $AD$ với mặt phẳng $\left(BEF\right)$.

c)     Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(BEF\right)$ và $\left(ABD\right)$.

Lời giải: 

a)

Giao tuyến của $\left(BEF\right)$ và $\left(ABC\right)$:

Ta có $B\in \left(BEF\right)\cap \left(ABC\right)$.

Mặt khác, ta có $\{\begin{array}{l}E\in \left(BEF\right)\\ E\in AC\subset \left(ABC\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(BEF\right)\cap \left(ABC\right)$.

Như vậy giao tuyển của $\left(BEF\right)$ và $\left(ABC\right)$ là đường thẳng $BE$.

 

Giao tuyến của $\left(BEF\right)$ và $\left(ACD\right)$:

Ta có $\{\begin{array}{l}F\in \left(BEF\right)\\ F\in CD\subset \left(ACD\right)\end{array}\Rightarrow F\in \left(BEF\right)\cap \left(ACD\right)$.

Mặt khác, $\{\begin{array}{l}E\in \left(BEF\right)\\ E\in AC\subset \left(ACD\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(BEF\right)\cap \left(ACD\right)$.

Như vậy giao tuyển của $\left(BEF\right)$ và $\left(ACD\right)$ là đường thẳng $EF$.

Giao tuyến của $\left(BEF\right)$ và $\left(BCD\right)$:

Ta có $B\in \left(BEF\right)\cap \left(BCD\right)$

Mặt khác, $\{\begin{array}{l}F\in \left(BEF\right)\\ F\in CD\subset \left(BCD\right)\end{array}\Rightarrow F\in \left(BEF\right)\cap \left(BCD\right)$

Như vậy giao tuyển của $\left(BEF\right)$ và $\left(BCD\right)$ là đường thẳng $BF$.

b) Trên mặt phẳng $\left(ACD\right)$, lấy $K$ là giao điểm của $AD$ và $EF$.

Ta có $\left\{K\right\}=AD\cap EF$,  mà $EF\subset \left(BEF\right)$.

Suy ra $\left\{K\right\}=AD\cap \left(BEF\right)$, tức $K$ là giao điểm của $AD$ và $\left(BEF\right)$.

c) Ta có $B\in \left(BEF\right)\cap \left(ABD\right)$.

Theo câu b, ta có $K\in AD\cap \left(BEF\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}K\in AD\\ K\in \left(BEF\right)\end{array}$

Mà $AD\in \left(ABD\right)$ nên ta suy ra $\{\begin{array}{l}K\in \left(ABD\right)\\ K\in \left(BEF\right)\end{array}\Rightarrow K\in \left(ABD\right)\cap \left(BEF\right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(BEF\right)$ và $\left(ABD\right)$ là đường thẳng $BK$.

Bài 7 trang 95 SBT Toán 11: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,BC,CD$.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng $NP$ với mặt phẳng $\left(SAB\right)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left(MNP\right)$ với các mặt phẳng $\left(SAB\right),\left(SAD\right),\left(SBC\right),\left(SCD\right)$.

Lời giải:

a) Xét mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $NP$.

Ta có $\left\{E\right\}=AB\cap NP$, mà $NP\subset \left(MNP\right)$ nên $\left\{E\right\}=\left(SAB\right)\cap NP$.

b)

Giao tuyến của $\left(MNP\right)$ và $\left(SAB\right)$:

Ta có $\{\begin{array}{l}M\in SA\subset \left(SAB\right)\\ M\in \left(MNP\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(SAB\right)\cap \left(MNP\right)$.

Mặt khác, theo câu a, ta có $\{\begin{array}{l}E\in AB\subset \left(SAB\right)\\ E\in NP\subset \left(MNP\right)\end{array}\Rightarrow E\in \left(SAB\right)\cap \left(MNP\right)$.

Từ đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(MNP\right)$ là đường thẳng $ME$.

Giao tuyến của $\left(MNP\right)$ và $\left(SAD\right)$:

Trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $NP$.

Vì $F$ là giao điểm của $AD$ và $NP$, ta suy ra $\{\begin{array}{l}F\in AD\\ F\in NP\end{array}$.

Do $AD\subset \left(SAD\right)$, $NP\subset \left(MNP\right)$ nên ta có $\{\begin{array}{l}F\in \left(SAD\right)\\ F\in \left(MNP\right)\end{array}\Rightarrow F\in \left(SAD\right)\cap \left(MNP\right)$.

Hơn nữa, ta cũng có $\{\begin{array}{l}M\in SA\subset \left(SAD\right)\\ M\in \left(MNP\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(SAD\right)\cap \left(MNP\right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(MNP\right)$ là đường thẳng $MF$.

 

Giao tuyến của $\left(MNP\right)$ và $\left(SBC\right)$:

Ta có $ME$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(MNP\right)$$\Rightarrow ME\subset \left(SAB\right)$.

Trên mặt phẳng $\left(SAB\right)$, gọi $\left\{K\right\}=ME\cap SB$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}K\in ME\subset \left(MNP\right)\\ K\in SB\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow K\in \left(MNP\right)\cap \left(SBC\right)$.

Hơn nữa, ta có $\{\begin{array}{l}N\in \left(MNP\right)\\ N\in BC\subset \left(SBC\right)\end{array}\Rightarrow N\in \left(MNP\right)\cap \left(SBC\right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(MNP\right)$ là đường thẳng $NK$.

Giao tuyến của $\left(MNP\right)$ và $\left(SCD\right)$:

Ta có $MF$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAD\right)$ và $\left(MNP\right)$$\Rightarrow MF\subset \left(SAD\right)$.

Trên mặt phẳng $\left(SAD\right)$, gọi $\left\{L\right\}=MF\cap SD$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}L\in MF\subset \left(MNP\right)\\ L\in SD\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow L\in \left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)$.

Hơn nữa, ta có $\{\begin{array}{l}P\in \left(MNP\right)\\ P\in CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow P\in \left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SCD\right)$ và $\left(MNP\right)$ là đường thẳng $LP$.

Bài 8 trang 95 SBT Toán 11: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC$.

a)    Xác định giao điểm $I$ của đường thẳng $MP$ với mặt phẳng $\left(SBD\right)$.

b)    Xác định giao điểm $Q$ của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left(MNP\right)$.

Lời giải:

a) Trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{O\right\}=AC\cap BD$.

Trên mặt phẳng $\left(SAC\right)$, gọi $\left\{I\right\}=MP\cap SO$.

Do $SO\subset \left(SBD\right)$, ta suy ra $\left\{I\right\}=MP\cap \left(SBD\right)$.

Vậy $I$ là giao điểm của $MP$ và $\left(SBD\right)$.

 

b) Trên mặt phẳng $\left(SBD\right)$, gọi $\left\{Q\right\}=NI\cap SD$.

Do $NI\subset \left(MNP\right)$, ta suy ra $\left\{Q\right\}=\left(MNP\right)\cap SD$.

Vậy $Q$ là giao điểm của $SD$ và $\left(MNP\right)$.

Bài 9 trang 95 SBT Toán 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trên SO lấy điểm I sao cho SI = 2IO.

a) Xác định các giao điểm M, N lần lượt của SA, SD với mặt phẳng (IBC).

b*) Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC và MN đồng quy.

Lời giải:

a)

Giao điểm $M$ của $SA$ và $\left(IBC\right)$:

Ta nhận xét rằng $I\in SO\subset \left(SAC\right)\Rightarrow CI\subset \left(SAC\right)$.

Trên mặt phẳng $\left(SAC\right)$, gọi $\left\{M\right\}=CI\cap SA$.

Do $IC\subset \left(IBC\right)$, nên $\left\{M\right\}=\left(IBC\right)\cap SA$.

Vậy $M$ là giao điểm của $\left(IBC\right)$ và $SA$.

Giao điểm $N$ của $SD$ và $\left(IBC\right)$:

Ta nhận xét rằng $I\in SO\subset \left(SBD\right)\Rightarrow BI\subset \left(SBD\right)$.

Trên mặt phẳng $\left(SBD\right)$, gọi $\left\{N\right\}=BI\cap SD$.

Do $IB\subset \left(IBC\right)$, nên $\left\{N\right\}=\left(IBC\right)\cap SD$.

Vậy $N$ là giao điểm của $\left(IBC\right)$ và $SD$.

b) Trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Ta có $\{\begin{array}{l}M\in SA\subset \left(SAD\right)\\ M\in \left(IBC\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(SAD\right)\cap \left(IBC\right)$.

Mặt khác, $\{\begin{array}{l}N\in SD\subset \left(SAD\right)\\ N\in \left(IBC\right)\end{array}\Rightarrow N\in \left(SAD\right)\cap \left(IBC\right)$.

Vậy giao tuyến của $\left(SAD\right)$ và $\left(IBC\right)$ là đường thẳng $MN$.

Do $AD\in \left(SAD\right)$, $BC\in \left(IBC\right)$, $\left\{K\right\}=AD\cap BC$, ta suy ra $K$ nằm trên giao tuyến của $\left(SAD\right)$ và $\left(IBC\right)$, tức là $K\in MN$.

Vậy ba đường thẳng $AD$, $BC$, $MN$ cắt nhau tại $K$.