Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Giới hạn của hàm số

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  và $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=M$  (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  và $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L}{M}$  (L, M ∈ ℝ) thì  (nếu M ≠ 0).

Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.

Bài 13 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x­₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → L, ta có f(x_n) → x₀ thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x­₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

Bài 14 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$ .

B. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=+\infty$ .

C. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=-\infty$ .

D. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=+\infty$  hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=-\infty$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$ .

Bài 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  thì $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$ .  

B. Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  thì L ≥ 0.  

c. Nếu f(x) ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$ .

D. Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$  thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$ .

Bài 16 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ .

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ .

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ .

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → L, ta có f(x_n) →+∞ thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ .

Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }{x}^3=-8$ .

b) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=-4$ .

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = x³. Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn limx_n = – 2.

Ta có limf(x_n) = $\lim x_n^3={\left(-2\right)}^3=-8$ .

Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }{x}^3=-8$ .

b) Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}$ .

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ≠ – 2 và lim x_n = – 2.

Ta có $\lim g\left(x_n\right)=\lim \frac{x_n^2-4}{x_n+2}=\lim \frac{\left(x_n-2\right)\left(x_n+2\right)}{x_n+2}=\lim \left(x_n-2\right)=-4$ .

Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=-4$ .

Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=4$, chứng minh rằng:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }3f\left(x\right)=12$ ;

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{4}=1$ ;

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=2$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }3f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }3.\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=3.4=12$.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{4}=\frac{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 3}{\lim }4}=\frac{4}{4}=1$ .

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}=\sqrt{4}=2$ .

Bài 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ .

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$;

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2+3x+1\right)$ ;                       b) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-4x+1}{x^2-x+3}$ ;

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x^2+5x+4}$ ;                          d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^2+3}$ ;

e) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-3}{x-2}$ ;                                    g) $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{5}{x+2}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2+3x+1\right)$ $=\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2\right)+\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1$  = – 4 – 3 + 1 = – 6.            

b) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-4x+1}{x^2-x+3}$ $=\frac{\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x+1\right)}{\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+3\right)}$$=\frac{\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1}{\underset{x\to -1}{\lim }{x}^2-\underset{x\to -1}{\lim }x+\underset{x\to -1}{\lim }3}=\frac{4+1}{1-\left(-1\right)+3}=\frac{5}{5}=1$ .

c) Vì $\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2+5x+4\right)$ $=\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2\right)+\underset{x\to 2}{\lim }\left(5x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }4=$ ${3.2}^2+5.2+4=26$ .

Do đó, $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x^2+5x+4}$ $=\sqrt{26}$.                

d) Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3+\frac{4}{x}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3\right)+\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x}=-3+0=-3$

và  .

Do đó, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^2+3}=0$ .

e) Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(-3\right)=-3<0$ ; $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0$  và x – 2 > 0 với mọi x > 2.

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-3}{x-2}=-\infty$ .                              

g) Vì $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }5=5>0$ ; $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(x+2\right)=0$  và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.

Do đó, $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{5}{x+2}=+\infty$ .

Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5x+2}{3x+1}$ ;                                 b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$ ;

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$ ;                               d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$ ;

e) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$ ;                               g) $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5x+2}{3x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{-5}{3}$ .                      

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$ $=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{-2}{x}+\frac{3}{x^2}}{3+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{0}{3}=0$ .

c)  

d)  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(-x\right).\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{9}}{1}=-3$.         

e) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-6\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-6}{x+1}=-2$.                          

g) $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$ $=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{\left(5-x\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{5-x}{x+1}=-4$.

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-4}{x-1}=2$ . Tính:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }3f\left(x\right)$ .

Lời giải:

 

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-4}{x-1}=2$.

b) Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }3f\left(x\right)$ $=\underset{x\to 1}{\lim }3.\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3.4=12$ .

Bài 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thoả mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2022$ . Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}$ .   

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}$ $=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}\right)}$

$=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}}=\frac{2022}{1+0}=2022$.

Vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}=2022$ .

Bài 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ . Chứng minh rằng:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}=\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Ta có  $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}$$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{1-\frac{3}{f\left(x\right)}}{2+\frac{1}{f\left(x\right)}}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }\left(1-\frac{3}{f\left(x\right)}\right)}{\underset{x\to a}{\lim }\left(2+\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}$

                              $=\frac{\underset{x\to a}{\lim }1-\underset{x\to a}{\lim }\frac{3}{f\left(x\right)}}{\underset{x\to a}{\lim }2+\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)}}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }1-\frac{\underset{x\to a}{\lim }3}{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}}{\underset{x\to a}{\lim }2+\frac{\underset{x\to a}{\lim }1}{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}}$ $=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$ .

Vậy $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}=\frac{1}{2}$ .

Bài 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t² – t³ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t₁, t₂ là $V_{tb}=\frac{g\left(t_2\right)-g\left(t_1\right)}{t_2-t_1}$ . Tính $\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$  và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Lời giải:

Ta có g(10) = 45 . 10² – 10³.

Khi đó $\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$ $=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{45t^2-t^3-{45.10}^2-{10}^3}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{\left(45t^2-{45.10}^2\right)-\left(t^3-{10}^3\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{45\left(t-10\right)\left(t+10\right)-\left(t-10\right)\left(t^2+10t+100\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{\left(t-10\right)\left(45\left(t+10\right)-\left(t^2+10t+100\right)\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\left(-t^2+35t+350\right)=600$.

Vậy $\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$  = 600.

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.