Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Tia phân giác HAC^ cắt BC tại K. Các đường phân giác của BAH^ và BHA^ cắt nhau tại O. Gọi M là trung điểm của AK. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu hỏi:

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Tia phân giác $\widehat{HAC}$ cắt BC tại K. Các đường phân giác của $\widehat{BAH}$ và $\widehat{BHA}$ cắt nhau tại O. Gọi M là trung điểm của AK. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ∆BAK cân tại A;

B. Ba điểm B, O, M thẳng hàng;

Đáp án chính xác

C. ∆BAK cân tại K; 

D. Ba điểm B, O, M không thẳng hàng.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Ta có ∆ABC vuông tại A nên $\widehat{BAK}+\widehat{KAC}=90°$ (do $\widehat{BAC}=90°$)
∆AHK vuông tại H nên $\widehat{BKA}+\widehat{KAH}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KAH}$ (do AK là phân giác $\widehat{HAC}$).
Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{BKA}$.
Do đó ∆BAK cân tại B.
Vì vậy đáp án A, C sai.
Xét ∆BAH có O là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh A và đỉnh H.
Suy ra BO là đường phân giác thứ ba (xuất phát từ đỉnh B) của ∆BAH.
Do đó BO là tia phân giác của $\widehat{ABK}$  (1).
Xét ∆ABM và ∆KBM, có:
BM là cạnh chung.
BA = BK (do ∆BAK cân tại B)
AM = MK (do M là trung điểm AK)
Do đó ∆ABM = ∆KBM (c.c.c)
Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{KBM}$ (cặp góc tương ứng)
Khi đó ta có BM là đường phân giác của ∆BAK.
Do đó BM cũng là tia phân giác của $\widehat{ABK}$  (2).
Từ (1), (2), ta suy ra BO trùng với BM.
Do đó ba điểm B, O, M thẳng hàng.
Vì vậy đáp án B đúng, đáp án D sai.
Vậy ta chọn đáp án B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình vẽ bên: Biết CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC. Tìm x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vẽ bên:
   
   Biết CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC. Tìm x.

   A. x = 30°;

   Đáp án chính xác

   B. x = 60°;

   C. x = 90°;

   D. x = 120°.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Ta có CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC nên:
   +) $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$
   +) $\widehat{ACB}=2\widehat{ACI}$
   Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{IBC}+2\widehat{ICA}$.
   $=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICA}\right)=2\left(37°+23°\right)=120°$.
   ∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)
   Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=180°-120°=60°$.
   ∆ABC có hai đường phân giác CI, BI cắt nhau tại I.
   Suy ra AI là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.
   Do đó $\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$.
   Khi đó x = 30°.
   Vậy ta chọn đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ∆ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Gọi O là giao điểm của các tia phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của ∆ABC. Kẻ OH ⊥ BC tại H, OK ⊥ AB tại K và OI ⊥ AC tại I. Độ dài đoạn thẳng HB bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Gọi O là giao điểm của các tia phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của ∆ABC. Kẻ OH ⊥ BC tại H, OK ⊥ AB tại K và OI ⊥ AC tại I. Độ dài đoạn thẳng HB bằng:

   A. 1 cm;

   B. 2 cm;

   Đáp án chính xác

   C. 3 cm;

   D. 4 cm.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Vì ba đường phân giác của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.
   Do đó AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC.
   Xét ∆AOK và ∆AOI, có:
   AO là cạnh chung.
   $\widehat{KAO}=\widehat{IAO}$ (AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC).
   $\widehat{AKO}=\widehat{AIO}=90°$.
   Do đó ∆AOK = ∆AOI (cạnh huyền – góc nhọn).
   Suy ra AK = AI (cặp cạnh tương ứng).
   Chứng minh tương tự, ta được BK = BH và CI = CH.
   Do đó BK + CI = BH + CH
   Suy ra BK + CI = BC (vì H ∈ BC).
   Vì vậy BK + CI = 6 (cm).
   Khi đó ta có (AB – AK) + (AC – AI) = 6
   Suy ra AB + AC – AK – AI = 6
   Do đó 3 + 5 – 2AK = 6 (vì AI = AK)
   Vì vậy 8 – 2AK = 6
   Suy ra 2AK = 8 – 6 = 2.
   Do đó AK = 2 : 2 = 1 (cm)
   Ta có BK = AB – AK = 3 – 1 = 2 (cm)
   Suy ra BH = BK = 2 cm.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho ∆ABC biết ABC^=60°, BAC^=80°. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác này. Số đo ICA^ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC biết $\widehat{ABC}=60°$, $\widehat{BAC}=80°$. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác này. Số đo $\widehat{ICA}$ bằng:

   A. 40°;

   B. 20°;

   Đáp án chính xác

   C. 30°;

   D. 80°.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   ∆ABC có: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)
   Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180°-60°-80°=40°$.
   Ta có I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của ∆ABC (giả thiết).
   Ta suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC.
   Do đó $\widehat{ICA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.40°=20°$.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho ∆MNP có N^=50°, P^=60°. Các đường phân giác NE, PF cắt nhau ở H. Số đo NHP^ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆MNP có $\widehat{N}=50°$, $\widehat{P}=60°$. Các đường phân giác NE, PF cắt nhau ở H. Số đo $\widehat{NHP}$ bằng:

   A. 70°;

   B. 75°;

   C. 100°;

   D. 125°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là:D
   
   ∆MNP có NE, PF là hai đường phân giác.
   Suy ra $\widehat{N_1}=\frac{1}{2}\widehat{MNP}=\frac{1}{2}.50°=25°$ và $\widehat{P_1}=\frac{1}{2}\widehat{MPN}=\frac{1}{2}.60°=30°$.
   ∆NHP có: $\widehat{NHP}+\widehat{N_1}+\widehat{P_1}=180°$(định lí tổng ba góc của tam giác)
   Suy ra $\widehat{NHP}=180°-\widehat{N_1}-\widehat{P_1}=180°-25°-30°=125°$.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho xOy^ có tia phân giác Oz. Trên tia Ox, lấy điểm A bất kỳ. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, đường thẳng này cắt Oz tại H và cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao cho KA là đường phân giác của OKB^. Kẻ HI ⊥ OK (I ∈ OK). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\widehat{xOy}$ có tia phân giác Oz. Trên tia Ox, lấy điểm A bất kỳ. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, đường thẳng này cắt Oz tại H và cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao cho KA là đường phân giác của $\widehat{OKB}$. Kẻ HI ⊥ OK (I ∈ OK). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

   A. ∆OAK = ∆BAK;

   B. HA = HI;

   C. A là trung điểm của OB;

   D. Cả A, B, C đều đúng.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   
   Ta xét đáp án A:
   Xét ∆OAK và ∆BAK, có:
   AK là cạnh chung.
   $\widehat{OKA}=\widehat{BKA}$ (do KA là đường phân giác của $\widehat{OKB}$).
   $\widehat{OAK}=\widehat{BAK}=90°$.
   Do đó ∆OAK = ∆BAK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
   Suy ra đáp án A đúng.
   Ta xét đáp án B:
   ∆OBK có hai đường phân giác OH, KH cắt nhau tại H.
   Suy ra H cách đều OK và OB (tính chất ba đường phân giác của tam giác)
   Do đó HA = HI (do HA ⊥ OB, HI ⊥ OK).
   Suy ra đáp án B đúng.
   Ta xét đáp án C:
   Ta có ∆OAK = ∆BAK (chứng minh trên).
   Suy ra OA = AB.
   Khi đó A là trung điểm của OB.
   Do đó đáp án C đúng.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====