Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = x (0 < 0 < a). Lấy là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).a) Xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD.b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất.

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = x (0 < 0 < a). Lấy là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).a) Xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD.b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất.

Trả lời:

a) Trường hợp 1 .I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2)Khi đó I ở vị trí I1Ta có: (α) // (SBD)Vì (α) // BD nên (α) cắt (ABD) theo giao tuyến M1N1 ( qua I1) song song với BDTương tự (α) // SO nên (α) cắt (SOA) theo giao tuyếnS1T1 song song với SO.Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác S1M1N1.Nhận xét. Dễ thấy rằng $S_1{M}_1 // SB và S_1{N}_1 // SD$. Lúc đó tam giác S1M1N1 đều.Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)Khi đó I ở vị trí I2. Tương tự như trường hợp 1 ta có thiết diện là tam giác đều $S_2{M}_2{N}_2 có M_2{N}_2 // BD$, $S_2{M}_2 // SB, S_2{N}_2 // SD$.Trường hợp 3. I ≡ O. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1,2,3.Trường hợp 1. I thuộc đoạn AO (0 < x < a/2) Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC (a/2 < x < a)Trường hợp 3. I ≡ O.Tóm lại∗ Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau:Vậy Sthiết diện lớn nhất khi và chỉ khi x = a/2.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng $\left(G_1{G}_2{G}_3\right) // \left(BCD\right).$

   Trả lời:

   Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì?c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì?c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.

   Trả lời:

   a) Ta có:⇒ Ax // (Cz,Dt)Từ Ax, AB ⊂ (Ax,By) suy ra (Ax, By) // (Cz, Dt)Tương tự ta có (Ax, Dt) // (By,Cz)b) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.c) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’. Dễ thấy OO’ là đường trung bình của hình thang AA’, suy ra Tương tự ta có:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minha) (ADF) // (BCE).b) M′N′ // DF.c) (DEF) // (MM′N′N) và MN // (DEF).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minha) (ADF) // (BCE).b) M′N′ // DF.c) (DEF) // (MM′N′N) và MN // (DEF).

   Trả lời:

   a)Mà AD, AF ⊂ (ADF)Nên (ADF) // (BCE)b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF. Ta có:So sánh (1) và (2) ta được:c) Từ chứng minh trên suy ra DF // (MM′N′N)Mà DF,EF ⊂ (DEF) nên (DEF) // (MM′N′N)Vì MN ⊂ (MM′N′N) và (MM′N′N) // (DEF) nên MN // (DEF).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC'. Gọi I và I'tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B'C'.a) Chứng minh rằng AI // A'I'.b) Tìm giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C').c) Tìm giao tuyến của (AB'C') và (A'BC).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi I và I’tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’.a) Chứng minh rằng AI // A’I’.b) Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng (AB’C’).c) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC).

   Trả lời:

   a) Ta có II′ // BB′ và II’ = BB’Mặt khác AA′ // BB′ và AA’ = BB’ nên : AA′ // II′ và AA’ = II’⇒ AA’II’ là hình bình hành.⇒ AI // A′I′b) Ta có:⇒ A ∈ (AB′C′) ∩ (AA′I′I)Tương tự :I′ ∈ (AB′C′) ∩ (AA′I′I) ⇒ (AB′C′) ∩ (AA′I′I) = AI′Đặt AI′ ∩ A′I = E. Ta có:Vậy E là giao điểm của AI’ và mặt phẳng (AB’C’)c) Ta có:Tương tự:Vậy (AB′C′) ∩ (A′BC) = MN

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của A'B'.a) Chứng minh rằng CB′ // (AHC′)b) Tìm giao tuyến d của (AB'C') và (ABC)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.a) Chứng minh rằng CB′ // (AHC′)b) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (ABC)

   Trả lời:

   a) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường.Do đó IH // CB′ ( đường trung bình của tam giác CB’A’)Mặt khác IH ⊂ (AHC′) nên CB′ // (AHC′)b) Ta có:suy ra, ⇒ A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC)MàNên (AB′C′) ∩ (ABC) = AxVà Ax // BC // B′C′

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====