Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Đáp án chính xác

B. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

C. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

D. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.

Do M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Vì NC = 2NA nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Ta có:
$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$ (vì K là trung điểm của MN)
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

   A. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HD}$

   B. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}$

   D. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HA}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   
   Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
   Có: $\widehat{ABD}={90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
   Do đó, BD vuông góc với AB.
   Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.
   Do đó, BD // CH.
   Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
   Do đó, HBDC là hình bình hành
   $\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

   A. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}$

   B. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HD}$

   C. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}$

   Đáp án chính xác

   D. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: C.
   
   Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
   Có: $\widehat{ABD}={90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
   Do đó, BD vuông góc với AB.
   Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.
   Do đó, BD // CH.
   Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
   Do đó, HBDC là hình bình hành
   $\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành)
   Vậy $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Biểu thức AD→+BE→+CF→ bằng biểu thức nào sau đây ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Biểu thức $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$ bằng biểu thức nào sau đây ?

   A. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}$

   C. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CD}$

   D. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   Ta có:
   $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$
   $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$
   $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\left(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}\right)$
   $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD}$
   $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho 4 điểm A, B, C, D. Biết AB→=CD→. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho 4 điểm A, B, C, D. Biết $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

   A. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$;

   B. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$;

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$;

   D. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   Ta có:
   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
   $\iff \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$
   $\iff \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

   A. $\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$

   B. $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$

   C. $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$

   D. $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   
   Ta có, ABIJ, BCPQ, CARS là các hình bình hành nên:
   $\overrightarrow{RA}=\overrightarrow{SC}$, $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}$, $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{QB}$
   Mặt khác, có:
   $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}$
   $=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$
   $=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{CS}$

   $=\left(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CS}\right)+\left(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{QB}\right)$
   $=\overrightarrow{0}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====