Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\widehat{A}=120°$. Tính độ dài cạnh AC.

Trả lời:

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$
$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{5.\sin 120°}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.
Do đó: $\widehat{C}\approx 38°$.
Lại có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)
$\Rightarrow \widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(120°+38°\right)=22°$.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AC² = AB² + BC² – 2 . AB . AC . sin B = 5² + 7² – 2 . 5 . 7 . cos 22° ≈ 9
⇒ AC ≈ 3.
Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.

Dựng đường cao CH của tam giác ABC.
Đặt AH = x.
Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=180°$( kề bù).
$\Rightarrow \widehat{CAH}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°$.
Tam giác ACH vuông tại H nên
$cos\widehat{CAH}=\frac{AH}{CA}\Rightarrow CA=\frac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\frac{x}{cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$.
Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $CH=x\sqrt{3}$.
Và BC² = BH² + CH² = (BA + AH)² + CH²
Thay số: 7² = (5 + x)² + 3x² (1)
Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.
Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau: Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC. Giải tam giác được hiểu như thế nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:
   Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.
   

   Giải tam giác được hiểu như thế nào?

   Trả lời:

   Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A^=α. Viết công thức tính BC theo b, c, α.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, $\widehat{A}=\alpha$. Viết công thức tính BC theo b, c, α.

   Trả lời:

   Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
   BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A = c² + b² – 2.b.c.cosα
   $\Rightarrow BC=\sqrt{c^2+b^2-2bc\cos \alpha }$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.

   Trả lời:

   Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
   $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$.
   Vậy $\cos A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.

   Trả lời:

   Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R. Ta có định lí sin:
   $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH. a) Tính BH theo c và sin A. b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
   a) Tính BH theo c và sin A.
   b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.

   Trả lời:

   a) Xét các trường hợp:        
   + Với $\widehat{A}<90°$
   
   Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A.
   + Với $\widehat{A}=90°$
   
   Khi đó, BH = BA = c = c sin A.
   + Với $\widehat{A}>90°$
   
   Xét tam giác AHB vuông, ta có: $\widehat{BAH}=180°-\widehat{A}$.
   Do đó BH = AB . sin(180° – $\widehat{A}$) = AB . sin A = c sin A.
   Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A.
   b) Ta có: $S=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}bc\sin A$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====