Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

Câu hỏi:

Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

Trả lời:

Số cách chọn nếu bác Thành mua:
– Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: $C_{10}^1.$
– Bộ đồ chơi lego là: $C_{10}^3.$
– Bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời là: $C_{10}^5.$
– Rubik là: $C_{10}^7.$
– Mô hình khủng long là: $C_{10}^9.$
Vậy tổng số cách chọn là: $C_{10}^1+C_{10}^3+C_{10}^5+C_{10}^7+C_{10}^9.$
Lại có $C_{10}^1+C_{10}^3+C_{10}^5+C_{10}^7+C_{10}^9=2^{2.5-1}=2^9=512$ (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 5).
Vậy có 512 cách.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau: (a+b)3=C3?a3−?+C3?a3−?b1+C3?a3−?b2+C3?a3−?b3. Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)3. b) Xét biểu thức (a + b)n. Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)n.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:
   ${(a+b)}^3=C_3^{?}{a}^{3-?}+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^1+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^2+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^3.$

   Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)³.
   b) Xét biểu thức (a + b)ⁿ.
   Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)ⁿ.

   Trả lời:

   a) ${(a+b)}^3=C_3^0{a}^{3-0}+C_3^1{a}^{3-1}{b}^1+C_3^2{a}^{3-2}{b}^2+C_3^3{a}^{3-3}{b}^3.$
   Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)³ đều có dạng $C_3^k{a}^{3-k}{b}^k.$
   b) Cũng như thế, mỗi số hạng trong khai triển
   biểu thức (a + b)ⁿ đều có dạng $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Khai triển biểu thức (x + 2)7.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

   Trả lời:

   ${\left(x+2\right)}^7=x^7+C_7^1{x}^{6}2+C_7^2{x}^5{2}^2+C_7^3{x}^4{2}^3+C_7^4{x}^3{2}^4+C_7^5{x}^2{2}^5+C_7^{6}x{2}^6+2^7.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho n∈ℕ* . Chứng minh Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn−1+Cnn=2n.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ . Chứng minh $C_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n=2^n.$

   Trả lời:

   Ta có:
   ${\left(x+1\right)}^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}.1+C_n^2{x}^{n-2}.1^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}x.1^{n-1}+C_n^n.1^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+C_n^2{x}^{n-2}+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}x+C_n^n.$

   Cho x = 1, ta được:
   ${\left(1+1\right)}^n=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}+C_n^2{1}^{n-2}+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}1+C_n^n=C_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n.$
   Vậy $C_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n={\left(1+1\right)}^n=2^n.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Ta đã biết: (a+b)2=C20a2+C21ab+C22b2; (a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3; (a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4; (a+b)5=C50a5+C51a4b+C52a3b2+C53a2b3+C54ab4+C55b5. Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau: Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Ta đã biết:
   ${(a+b)}^2=C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^2{b}^2;$
   ${(a+b)}^3=C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^3{b}^3;$
   ${(a+b)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4;$
   ${(a+b)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5.$

   Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:
   

   Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

   Trả lời:

   Tổng của hai số hạng của dòng trên bằng số hạng tương ứng ở dòng dưới.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Sử dụng tam giác Pascal để khai triển: a) (x + y)7; b) (x – 2)7.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:
   a) (x + y)⁷;
   b) (x – 2)⁷.

   Trả lời:

   Tam giác Pascal ứng với n ≤ 7 là:
   

   Vậy:
   a) ${\left(x+y\right)}^7=x^7+7x^{6}y+21x^5{y}^2+35x^4{y}^3+35x^3{y}^4+21x^2{y}^5+7x{y}^6+y^7.$
   b) ${\left(x-2\right)}^7$
   $=x^7+7x^6.\left(-2\right)+21x^5{\left(-2\right)}^2+35x^4{\left(-2\right)}^3+35x^3{\left(-2\right)}^4+21x^2{\left(-2\right)}^5+7x{\left(-2\right)}^6+{\left(-2\right)}^7$
   $=x^7-14x^6+84x^5-280x^4+560x^3-672x^2+448x-128.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====