SBT Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức | Giải SBT Toán lớp 8

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

Bài 6 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $(5 x - 2 y) (x^{2} - x y + 1)$

b) $(x - 1) (x + 1) (x + 2)$

c) $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} (2 x + y) (2 x - y)$

Phương pháp giải:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau

* Tổng quát: Với $A, B, C, D$ là các đơn thức: $(A + B) (C + D)$ $= A C + A D + B C + B D$

Lời giải:

a) $(5 x - 2 y) (x^{2} - x y + 1)$

$= 5 x . x^{2} + 5 x . (- x y) + 5 x .1$ $+ (- 2 y) . x^{2} + (- 2 y) . (- x y) + (- 2 y) .1$

$= 5 x^{3} - 5 x^{2} y + 5 x - 2 x^{2} y$ $+ 2 x y^{2} - 2 y$

$= 5 x^{3} - 7 x^{2} y + 5 x + 2 x y^{2} - 2 y$

b) $(x - 1) (x + 1) (x + 2)$

$= [x . x + x .1 + (- 1) . x + (- 1) .1]$ $. (x + 2)$

$= (x^{2} + x - x - 1) (x + 2)$

$= (x^{2} - 1) (x + 2)$

$= x^{2} . x + x^{2} .2 + (- 1) . x + (- 1) .2$

$= x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

c) $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} (2 x + y) (2 x - y)$

$= \frac{1}{2} x^{2} y^{2} (2 x .2 x + 2 x . (- y) + y .2 x$ $+ y . (- y))$
$= \frac{1}{2} x^{2} y^{2} (4 x^{2} - 2 x y + 2 x y - y^{2})$
$= \frac{1}{2} x^{2} y^{2} (4 x^{2} - y^{2})$
$= \frac{1}{2} x^{2} y^{2} .4 x^{2} + \frac{1}{2} x^{2} y^{2} . (- y^{2})$
$= 2 x^{4} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{4}$

Bài 7 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $(\frac{1}{2} x - 1) (2 x - 3)$

b) $(x - 7) (x - 5)$

c) $(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2}) (4 x - 1)$

Phương pháp giải:

Muốn nhân một đa thức với đa thức ta lấy mỗi hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.

Tổng quát: Với $A, B, C, D$ là các đơn thức: $(A + B) (C + D)$ $= A C + A D + B C + B D$

Lời giải:

a) $(\frac{1}{2} x - 1) (2 x - 3)$

$= \frac{1}{2} x .2 x + \frac{1}{2} x . (- 3) + (- 1) .2 x$ $+ (- 1) . (- 3)$

$= x^{2} - \frac{3}{2} x - 2 x + 3$

$= x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$

b) $(x - 7) (x - 5)$
$= x . x + x . (- 5) + (- 7) . x$ $+ (- 7) . (- 5)$
$= x^{2} - 5 x - 7 x + 35$
$= x^{2} - 12 x + 35$

c) $(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2}) (4 x - 1)$

$= (x . x + x . \frac{1}{2} - \frac{1}{2} . x - \frac{1}{2} . \frac{1}{2})$ $. (4 x - 1)$
$= (x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4}) (4 x - 1)$
$= (x^{2} - \frac{1}{4}) (4 x - 1)$
$= x^{2} .4 x + x^{2} . (- 1) + (- \frac{1}{4}) .4 x$ $+ (- \frac{1}{4}) . (- 1)$
$= 4 x^{3} - x^{2} - x + \frac{1}{4}$

Bài 8 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Chứng minh:

a) $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$

b) $(x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}) (x - y)$ $= x^{4} - y^{4}$

Phương pháp giải:

Sử dụng nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau:

Với $A, B, C, D$ là các đơn thức: $(A + B) (C + D)$ $= A C + A D + B C + B D$

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái: $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

$= x . x^{2} + x . x + x .1 - 1. x^{2} - 1. x - 1.1$

$= x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 = x^{3} - 1$

Vế trái bằng vế phải vậy đẳng thức được chứng minh

b) Biến đổi vế trái: $(x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}) (x - y)$

$= x^{3} . x + x^{2} y . x + x y^{2} . x + y^{3} . x + x^{3} . (- y)$ $+ x^{2} y . (- y) + x y^{2} . (- y) + y^{3} . (- y)$

$= x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} - x^{3} y$ $- x^{2} y^{2} - x y^{3} - y^{4}$ $= x^{4} - y^{4}$

Vế trái bằng vế phải vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài 9 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên. Biết $a$ chia cho $3$ dư $1; b$ chia cho $3$ dư $2$ . Chứng minh rằng $a b$ chia cho $3$ dư $2$
Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa của phép chia có dư và công thức: $a = b q + r (0 \leq r < b)$

+) Sử dụng quy tắc: nhân một đa thức với một đa thức

+) Dấu hiệu của một tổng, một tích chia hết cho $3$

Lời giải:

Ta có: $a$ chia cho $3$ dư $1 \Rightarrow a = 3 q + 1 (q \in N)$

$b$ chia cho $3$ dư $2$ $\Rightarrow b = 3 k + 2 (k \in N)$

$a . b = (3 q + 1) (3 k + 2)$ $= 9 q k + 6 q + 3 k + 2$

Vì $9 ⋮ 3 \Rightarrow 9 q k ⋮ 3$

$6 ⋮ 3 \Rightarrow 6 q ⋮ 3$

$3 ⋮ 3 \Rightarrow 3 k ⋮ 3$

Vậy $a . b = 9 q k + 6 q + 3 k + 2$ $= 3 (3 q k + 2 q + k) + 2$ chia cho $3$ dư $2$ .

Bài 10 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Chứng minh rằng biểu thức $n (2 n - 3) - 2 n (n + 1)$ luôn chia hết cho $5$ với mọi số nguyên $n .$
Phương pháp giải:

+) Rút gọn biểu thức: Nhân đơn thức với đa thức

+) Dùng dấu hiệu của một tích chia hết cho $5$

Lời giải:

Ta có: $n (2 n - 3) - 2 n (n + 1)$

$= n .2 n - n .3 - 2 n . n - 2 n .1$

$= 2 n^{2} - 3 n - 2 n^{2} - 2 n = - 5 n$

Vì $(- 5) ⋮ 5 \Rightarrow (- 5 n) ⋮ 5$ với mọi $n \in Z$

Bài tập bổ sung (trang 6 SBT toán 8 tập 1)
Bài 2.1 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Kết quả của phép tính $(x - 5) (x + 3)$ là:

$A .$ $x^{2} - 15$

$B .$ $x^{2} + 2 x - 15$

$C .$ $x^{2} - 8 x - 15$

$D$ . $x^{2} - 2 x - 15$

Phương pháp giải:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau: $(A + B) (C + D) = A C + A D + B C + B D$

Lời giải:

Ta có: $(x - 5) (x + 3)$ $= x . x + 3. x - 5. x - 5.3$ $= x^{2} - 2 x - 15$

Vậy chọn $D .$ $x^{2} - 2 x - 15$

Bài 2.2 trang 6 SBT toán 8 tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $(n - 1) (3 - 2 n) - n (n + 5)$ chia hết cho $3$ với mọi giá trị của $n$

Phương pháp giải:

+) Rút gọn biểu thức:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: $(A + B) (C + D)$ $= A C + A D + B C + B D$

+) Chứng minh biểu thức đã rút gọn chia hết cho $3$ .

Lời giải:

$(n - 1) (3 - 2 n) - n (n + 5)$

$= n .3 + n . (- 2 n) - 1.3 - 1. (- 2 n)$ $- n . n - n .5$

$= 3 n - 2 n^{2} - 3 + 2 n - n^{2} - 5 n$

$= - 3 n^{2} - 3 = - 3 (n^{2} + 1)$

Vì $- 3 ⋮ 3$ nên $- 3 (n^{2} + 1) ⋮ 3$

Vậy biểu thức chia hết cho $3$ với mọi giá trị của $n .$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy