Lý thuyết Toán 8 Chương 5 (Cánh diều 2023): Tam giác. Tứ giác hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 8 Chương 5: Tam giác. Tứ giác

A. Lý thuyết Chương 5: Tam giác. Tứ giác

1. Định lý Pythagore

Định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Chẳng hạn, với tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có: BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với a = BC, b = AC, c = AB).

2. Định lý Pythagore đảo

Phát biểu định lý Pythagore đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Tứ giác

3.1. Nhận biết tứ giác

Trong tứ giác ABCD:

– Hai cạnh kề nhau (chẳng hạn: AB, BC) không cùng thuộc một đường thẳng;

– Không có ba đỉnh nào thẳng hàng;

– Có thể đọc tên góc theo tên đỉnh, chẳng hạn, góc ABC còn gọi là góc B và góc đó còn gọi là góc trong của tứ giác.

Nhận xét:

Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.

3.2. Nhận biết tứ giác lồi

Định nghĩa: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của tứ giác đó.

Quy ước: Từ nay về sau, khi nói về tứ giác mà không có ghi chú gì thêm thì ta hiểu đó là tứ giác lồi.

4. Tổng các góc của một tứ giác

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°.

5. Định nghĩa hình thang, hình thang cân

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Chú ý: Nếu ABCD là hình thang cân (AB // CD) thì $\widehat{A}=\widehat{B}$  và $\widehat{\text{C}}\text{ = }\widehat{\text{D}}$ .

6. Tính chất hình thang cân

Trong một hình thang cân:

– Hai cạnh bên bằng nhau;

– Hai đường chéo bằng nhau.

7. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

8. Định nghĩa hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.

Chẳng hạn, ABCD là hình bình hành.

9. Tính chất hình bình hành

Trong một hình bình hành:

– Các cạnh đối bằng nhau;

– Các góc đối bằng nhau;

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

10. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

– Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

– Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

11. Định nghĩa hình chữ nhật

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

12. Tính chất hình chữ nhật

Trong một hình chữ nhật:

– Hai cạnh đối song song và bằng nhau;

– Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

13. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Ta có những dấu hiệu nhận biết:

– Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

14. Định nghĩa hình thoi

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Chẳng hạn, ABCD là hình thoi.

15. Tính chất hình thoi

Trong một hình thoi:

– Các cạnh đối song song;

– Các góc đối bằng nhau;

– Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;

– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

16. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Ta có dấu hiệu nhận biết:

– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

17. Định nghĩa hình vuông

Hình vuông là hình tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Chẳng hạn, ABCD là hình vuông.

18. Tính chất hình vuông

Trong một hình vuông:

– Các cạnh đối song song;

– Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;

– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

19. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Ta có những dấu hiệu nhận biết:

– Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông;

– Hình chữ nhật cóhai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông;

– Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác cảu một góc là hình vuông.

B. Bài tập tự Chương 5: Tam giác. Tứ giác

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, tính độ dài cạnh còn lại trong các trường hợp sau:

a) AB = 5 cm, AC = 12 cm;

b) $AB= \sqrt{3}cm,BC=12cm$ ;

c) AB – AC = 7 cm, AB + AC = 17 cm.

Hướng dẫn giải

a) Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$

Vậy BC = 13 cm.

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra $A{C}^2=B{C}^2–A{B}^2={12}^2–{\left(\sqrt{3}\right)}^2=144–3=141$

Do đó $AC=\sqrt{141}=11,87\left(cm\right)$

Vậy AC = 11,87 cm.

c) Theo bài ta có: AB – AC = 7 suy ra AB = AC + 7

Mặt khác, AB + AC = 17 suy ra AC + 7 + AC = 17

Hay 2AC = 17 – 7 = 10 suy ra AC = 5 cm và AB = 12 cm

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$ .

Vậy BC = 13 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$  và BC = 20 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC²  = BC² = 20² = 400.

Từ đề bài: $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$  hay $\frac{AB}{4}=\frac{AC}{3}$  suy ra $\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+9}=\frac{400}{25}=16$

 

AB²  = 16.16 suy ra AB = 16 cm.

AC² = 9 . 16 = 144 suy ra AC = 12 cm.

Vậy AB = 16 cm; AC = 12 cm.

Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tìm giá trị của a.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore và tam giác ADE vuông tại A, ta có:

AD² + AE²  = DE²

AE²  = DE² – AD²

 Suy ra AE = 4.

Suy ra AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC²  = BC²

Suy ra BC² = 8² + 6² = 100 suy ra BC = 10 hay a = 10.

Vậy a = 10.

Bài 4. Cho hình vẽ. Tìm x.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất về góc vào tứ giác MNPQ, ta có:

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360°$

 

Hay 3x + 4x + x + 2x = 360°

Suy ra 10x = 360° hay x = 36°.

Vậy x = 36°.

Bài 5. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}:\widehat{D}=6:5:4:3$ . Tính các góc của tứ giác ABCD.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$

Mặt khác $\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}:\widehat{D}=6:5:4:3$ , theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

 

$\frac{\widehat{\text{A}}}{6}+\frac{\widehat{\text{B}}}{5}+\frac{\widehat{\text{C}}}{4}+\frac{\widehat{\text{D}}}{3}=\frac{\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}+\widehat{\text{D}}}{6+5+4+3}=\frac{360°}{18}=20°$

Suy ra $\widehat{A}=20°.6=120°$ ; $\widehat{\text{B}}\text{ = 20°. 5 = 100°}$ ;

$\widehat{C}=20°.4=80°$; $\widehat{D}=20°.3=60°$ .

Vậy $\widehat{A}=120°;\widehat{B}=100°;\widehat{C}=80°;\widehat{D}=60°.$

Bài 6. Chứng minh rằng trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC:

AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác ABC)

AC < AD + DC (bất đẳng thức trong tam giác ADC)

Suy ra 2AC < AB + BC + AD + DC.

Do đó $AC<\frac{AB+BC+AD+DC\text{}}{2}$

Chứng minh tương tự, $BD<\frac{AB+BC+AD+DC\text{}}{2}$ .

Vậy trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.

Bài 7. Cho hình thang cân ABCD (như hình vẽ) có $\widehat{\text{BAD}}=60°.$  Số đo của $\widehat{\text{BCD}}$  bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có: $\widehat{\text{A}}\text{ = }\widehat{\text{B}}$  và $\widehat{\text{C}}\text{ = }\widehat{\text{D}}$ .

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ . Suy ra $2\widehat{A}+2\widehat{C}=360°$ .

Nên $2\widehat{C}=360°-2\widehat{A}=360°-2.60°=240°.$  Suy ra $\widehat{C}=120°.$

Vậy $\widehat{C}=120°.$

Bài 8. Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 4 cm, đáy lớn CD = 10 cm, cạnh bên BC = 5 cm. Tính đường cao AH.

Hướng dẫn giải

Kẻ BI ⊥ CD tại I.

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có:

 $\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{C}}$

AD = BC

Do đó ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DH = CK.

Hay $DH=\frac{1}{2}(CD-AB)=\frac{1}{2}(10-4)=3\text{ (}cm).$

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADH vuông tại H, ta có:

AD² = AH² + DH²

Suy ra AH² = AD² – DH² = 5² – 3² = 16.

Do đó AH = 4 cm.

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên: AD = BC và AD // BC.

Vì AD // BC nên $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$  (hai góc so le trong).

Ta có: $\text{AH}\perp \text{BD}$  và $\text{CK}\perp \text{BD}$ . Suy ra: $\widehat{\text{AHD}}=\widehat{\text{CKB}}=90°$  và AH // CK.

Xét ΔAHD và ΔCKB có:

$\widehat{\text{AHD}}=\widehat{\text{CKB}}=90°$

$\widehat{\text{ADH}}=\widehat{\text{CBK}}$

 

 

AD = BC (cmt)

Do đó ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

AH = CK và AH // CK

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

Bài 10. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF;

b) BE // DF.

Hướng dẫn giải

Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên:

$AE=DE=\frac{1}{2}AD$ và $\text{BF}=\text{CF}=\frac{1}{2}AD$

Mà AD = BC nên AE = CF.

Xét ΔABE và ΔCDF có:

AB = DC

$\widehat{\text{EAB}}=\widehat{\text{DCF}}$ (Vì ABCD là hình bình hành)

AE = CF

Suy ra ΔABE = ΔCDF (c.g.c)

Suy ra BE = DF.

Vậy BE = DF.

b) Xét tứ giác EBFD có: BE = DF và DE = BF

Suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành.

Do đó BE // DF.

Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Hướng dẫn giải

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 (cm).

Xét tam giác giác BHA vuông tại H ta có:  BH² + AH² = AB²

Suy ra AH² = AB² – BH²

Suy ra AH² = AB² – 4      (1)

Xét tam giác AHD vuông tại H ta có: HD² + AH² = AD²

Suy ra AH² = AD² – HD²

Suy ra AH² = AD² – 3     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB² – 4 = AD² – 36       (3)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

AB² + AD² = DB²  = 8² = 64

Thay AB² = 64 – AD²  vào (3). Giải ra ta được AD² = 48 hay $AD=4\sqrt{3}$ .

Suy ra AB = 4 cm.

Vậy $AD=4\sqrt{3}$  cm và AB = 4 cm.

Bài 12. Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Hướng dẫn giải

Vì E là trung điểm của BC; H là trung điểm của AC .

Nên EH là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra EF // CI

Kết hợp với AB ⊥ CD (gt)      (4)

Kết hợp (*), (3) và (4)

Suy ra HE⊥ EF

Suy ra HEF = 90° (***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật.

Từ đó hai đường chéo EG = FH.

Vậy EG = FH.

Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: BG = 2GM

CG = 2GN 

Lại có: G đối xứng với với D qua M suy ra GM = MD hay GD = 2GM

G đối xứng với E qua N suy ra GN = EN hay GE = 2GN

Do đó BG = GD và CG = GE

Suy ra G là trung điểm của BD và CE.

Xét tứ giác BCDE có: G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành.

Lại có: $∆$ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM.

Xét $∆$BNC và $∆$CMB có:

Cạnh BC chung

BN = CM

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (do tam giác ABC cân tại A)

Do đó $∆$BNC = $∆$CMB (c.g.c)

Suy ra CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà $CN=\frac{3}{4}EC$  và $\text{BM}=\frac{3}{4}BD$

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chéo EC và BD bằng nhau.

Vậy tứ giác BCDE là hình chữ nhật.

Bài 14. Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24 cm và 10 cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10 cm, BD = 24 cm.

Do ABCD là hình thoi nên:

AC ⊥ BD

$AH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)$

$HB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.24=12\left(cm\right)$

 

 

Xét tam giác AHB vuông tại H:

AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 169

Do đó AB = 13 cm.

Bài 15. Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D. Tứ giác AMBM’ là hình gì?

Hướng dẫn giải

 

Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’

M là trung điểm BC

D là trung điểm AB

Suy ra MD là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra MD // AC.

Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC.

Do đó AB ⊥ DM hay AB ⊥ MM’.

Vì D là trung điểm của AB và MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành.

Mà AB ⊥ MM’ nên AMBM’ là hình thoi.

Vậy AMBM’ là hình thoi.

Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC ). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác AEDF có:

 

$\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90°$

Suy ra AEDF là hình chữ nhật (1)

Theo giả thiết ta có: AD là đường phân giác của góc $\widehat{\text{A}}$ .

Suy ra $\widehat{\text{EAD}}=\widehat{\text{DAF}}=45°$ .

Xét ΔAED có: $\widehat{\text{AED}}=90°$

 

$\widehat{\text{EAD}}=45°$

Suy ra $\widehat{\text{EDA}}=45°$ .

Suy ra ΔAED vuông cân tại E nên AE = ED (2).

Từ (1) và (2) suy ra AEDF là hình vuông.

Vậy AEDF là hình vuông.

Bài 17. Cho hình vuông ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và DC.

a) Chứng minh rằng BI ⊥ AK.

b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng $\widehat{EBC}=\widehat{EKD}$ .

Hướng dẫn giải

 

Xét ∆BAI và ∆ADK có:

AB = AD

$AI=DK=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DA$

$\widehat{A}=\widehat{D}$

 

 

Suy ra ∆BAI = ∆ADK  (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ABI}=\widehat{DAK}$  (góc tương ứng bằng nhau)

Mà $\widehat{IAE}+\widehat{EAB}=90°$

Suy ra $\widehat{ABI}+\widehat{EAB}=90°$

• Xét ∆ABE có $\widehat{EAB}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180°$

Suy ra $\widehat{AEB}=180°-\left(\widehat{ABE}+\widehat{BAE}\right)=180°-90°=90°$

Hay AK ⊥ BI (đpcm)

• Xét tứ giác EBCK có $\widehat{KEB}+\widehat{EBC}+\widehat{BCK}+\widehat{CKE}=360°$

Suy ra $\widehat{EBC}+\widehat{EKC}=180°$

Mà $\widehat{AKD}+\widehat{AKC}=180°$ .

Do đó $\widehat{EBC}=\widehat{EKD}$  (đpcm).

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Đa thức nhiều biến

Lý thuyết Chương 2: Phân thức đại số

Lý thuyết Chương 3: Hàm số và đồ thị

Lý thuyết Chương 4: Hình học trực quan

Lý thuyết Chương 5: Tam giác. Tứ giác