Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức
A. Lý thuyết
1. Tính chất cơ bản của phân thức
+ Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
(M là một đa thức khác đa thức 0)
+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
(M là một đa thức khác đa thức 0)
Ví dụ: Cho phân thức (2x)/(x + 2). Nhân cả tử và mẫu với đa thức ( x – 1 ), so sánh phân thức nhận được với phân thức đã cho ?
Hướng dẫn:
Ta có phân thức mới là 
Ta có = (2x)/(x + 2) vì 2x( x – 1 ).( x + 2 ) = 2x.( x + 2 )( x – 1 ).
2. Quy tắc đổi dấu
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì nhận được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
Ta có thể viết như sau: 
Ví dụ: Ta có phân thức
. Đổi dấu cả tử và mẫu ta được phân thức mới, so sánh phân thức mới với phân thức đã cho
Hướng dẫn:
Ta có phân thức mới nhận được là
.
Ta có: = vì x. – ( x + 1 ) = – x.( x + 1 ).
B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Hai phân thức sau có bằng nhau không ?
a, (x2 – 2x)/(x2 – 4) và x/(x + 2).
b, (x + 1)/(x + 3) và (x2 + 3x + 2)/(x2 – x – 6)
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( x2 – 2x )( x + 2 ) = x( x – 2 )( x + 2 ).
Mà x( x2 – 4 ) = x( x – 2 )( x + 2 )
Vậy hai phân thức đó bằng nhau.
b) Ta có ( x + 1 )( x2 – x – 6 ) = ( x + 1 )( x – 3 )( x + 2 ).
Nhưng ( x + 3 )( x2 + 3x + 2 ) = ( x + 2 )( x + 1 )( x + 3 )
Vậy hai phân thức đó không bằng nhau.
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a, (x3 – 1)/(x – 1) = x2 + x + 1
b, (x5 – 1)/(x2 – 1) = (x4 + x3 + x2 + x + 1)/(x + 1)
Hướng dẫn:
a) Ta có:
= x2 + x + 1
⇒ (x3 – 1)/(x – 1) = x2 + x + 1 (đpcm).
b) Ta có: ( x5 – 1 )( x + 1 ) = x6 + x5 – x – 1
Mặt khác, ta có: ( x2 – 1 )( x4 + x3 + x2 + x + 1 ) = ( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 ) – ( x4 + x3 + x2 + x + 1 )
= x6 + x5 – x – 1.
⇒ (x5 – 1)/(x2 – 1) = (x4 + x3 + x2 + x + 1)/(x + 1) (đpcm)