Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số 2023 - Toán 8

Tài liệu Lý thuyết và bài tập Phép cộng các phân thức đại số có đáp án gồm các nội dung chính sau:

A. Lý thuyết

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

– gồm 3 ví dụ minh họa có đáp án và lời giải chi tiết Lý thuyết và bài tập Phép cộng các phân thức đại số.

C. Bài tập tự luyện

– gồm 4 bài tập tự luyện có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Lý thuyết và bài tập Phép cộng các phân thức đại số.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Lý thuyết và bài tập Phép cộng các phân thức đại số có đáp án (ảnh 1)

PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A. LÝ THUYẾT

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc. Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

2. Cộng hai phân thức có mẫu số khác nhau

– Quy tắc. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

– Chú ý. Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:

+ Giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B};$

+ Kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) .$

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:

a) $A = \frac{x^{4} - {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2} - {(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} - 1} + \frac{x^{2} {(x - 1)}^{2} - 1}{x^{4} - {(x + 1)}^{2}}$

Giải

Tìm cách giải. Quan sát kĩ các phân thức, nhận thức tử thức của mỗi phân thức đều phân tích đa thức thành nhân tử được, do vậy ta nên phân tích thành nhân tử cả tử thức và mẫu thức và rút gọn phân thức trước khi thực hiện phép cộng.

Trình bày lời giải.

Ta có:

$\begin{array}{l} A = \frac{(x^{2} - x + 1) (x^{2} + x - 1)}{(x^{2} + 1 - x) (x^{2} + 1 + x)} + \frac{(x + x^{2} - 1) (x - x^{2} + 1)}{(x^{2} + x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{(x^{2} - x - 1) (x^{2} - x + 1)}{(x^{2} - x - 1) (x^{2} + x + 1)} \\ \Rightarrow A = \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{x - x^{2} + 1}{x^{2} + x + 1} + \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + x + 1} \\ \Rightarrow A = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} = 1. \end{array}$

Nhận xét. Trong khi thực hiện phép cộng, trừ các phân thức đại số, nếu phân thức nào rút gọn được, bạn nên rút gọn trước khi thực hiện.

Ví dụ 2. Tìm A, B thỏa mãn: $\frac{3 x^{2} + 3 x + 3}{x^{3} - 3 x + 2} = \frac{A}{(x - 1) 2} + \frac{B}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

Giải

Tìm cách giải. Để tìm hệ số A và B, chúng ta biến đổi vế phải. Sau đó đồng nhất hệ số hai vế.

Trình bày lời giải

Ta có: $x^{3} - 3 x + 2 = x^{3} - 2 x - x + 2 = x (x + 1) (x - 1) - 2 (x - 1)$

$\begin{array}{l} = (x - 1) (x^{2} + x - 2) \\ = (x - 1) (x + 2) 2 \end{array}$

Từ đó suy ra:

$\frac{3 x^{2} + 3 x + 3}{(x - 1) (x + 2) 2} = \frac{A}{(x - 1) 2} + \frac{B}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

$= \frac{A (x + 2) + B (x - 1) (x + 2) + (x - 1) 2}{(x - 1) (x + 2) 2}$

$\Rightarrow 3 x^{2} + 3 x + 3 = (B + 1) x^{2} + (A + B - 2) x + (2 A - 2 B + 1)$

Đồng nhất hệ số ta có: $\{\begin{matrix} B + 1 + 3 \\ A + B - 2 = 3 \\ 2 A - 2 B + 1 = 3 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} A = 3 \\ B = 2 \end{matrix}$

Ví dụ 3. Cho biểu thức: $Q = \frac{x^{4} + x}{x^{2} - x + 1} + 1 - \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x + 1} .$

a) Rút gọn biểu thức Q;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có: $Q = \frac{x^{4} + x}{x^{2} - x + 1} + 1 - \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x + 1}$ (ĐK: $x \neq - 1$ )

$\begin{array}{l} = \frac{x (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} + 1 - \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x + 1} \\ = x^{2} + x + 1 - 2 x = x^{2} - x . \end{array}$

b) $Q = x^{2} - x + 0, 25 - 0, 25 = {(x - 0, 5)}^{2} - 0, 25 \geq - 0, 25.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là -0,25 đạt được $\Leftrightarrow x = 0, 5.$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy