Lý thuyết Hình thang – Hình thang cân (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 3: Hình thang – Hình thang cân

A. Lý thuyết Hình thang – Hình thang cân

1. Khái niệm

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

 2. Tính chất của hình thang cân

+ Hai cạnh bên bằng nhau.

+ Hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ:

 

 Hình thang cân EFGH có hai cạnh bên EH = FG, hai đường chéo EG = FH.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

– Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

 

B. Bài tập Hình thang – Hình thang cân

Bài 1. Tính số đo các góc chưa biết của hình thang IJGH (IJ // GH) trong các trường hợp sau:

a) $\hat{H}=50°$ , $\hat{J}=110°$ .

b) IJGH là hình thang cân và $\hat{H}=30°$ .

c) $\hat{H}=90°$ , $\hat{G}=50°$ .

Hướng dẫn giải

a)

Do IJ // GH nên ta có:

$\hat{I}+\hat{H}=180°$, suy ra $\hat{I}=180°-\hat{H}=180°-50°=130°$

$\hat{J}+\hat{G}=180°$, suy ra $\hat{G}=180°-\hat{J}=180°-110°=70°$

Vậy hình thang IJGH có: $\hat{I}=130°$; $\hat{G}=70°$.

b)

Hình thang cân IJGH (IJ // GH) có $\hat{I}=\hat{J}$ và $\hat{G}=\hat{H}=30°$ (tính chất hình thang cân).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có:

$\hat{I}+\hat{J}+\hat{G}+\hat{H}=360°$

Suy ra $2\hat{I}=360°-2\hat{H}=360°-2.30°=300°$

Do đó $\hat{I}=\hat{J}=150°$ .

Vậy hình thang cân IJGH có: $\hat{G}=30°$; $\hat{I}=\hat{J}=150°$.

c)

$\hat{H}=90°$ nên hình thang IJGH là hình thang vuông, suy ra $\hat{H}=\hat{I}=90°$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có:

$\hat{J}=360°-\left(\hat{I}+\hat{G}+\hat{H}\right)=360°-\left(90°+50°+90°\right)=360°-230°=130°$

Vậy hình thang vuông IJGH có: $\hat{I}=90°$ , $\hat{J}=130°$ .

Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Hai tia phân giác của A và B cắt nhau tại điểm K nằm trên cạnh đáy DC. Từ K kẻ đoạn thẳng KM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh ∆ABK là tam giác cân.

b) Chứng minh AM = BM.

Hướng dẫn giải

a) Do AK là tia phân giác của $\hat{A}$ nên $\widehat{DAK}=\widehat{KAB}=\frac{\widehat{DAB}}{2}$.

BK là tia phân giác của $\hat{B}$ nên $\widehat{CBK}=\widehat{KBA}=\frac{\widehat{CBA}}{2}$.

Mà ABCD là hình thang cân nên $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ (tính chất hình thang cân).

Do đó $\widehat{KAB}=\widehat{KBA}$, suy ra ∆ABK là tam giác cân tại K.

b) Vì ∆ABK là tam giác cân nên KM là đường cao và cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB.

Do vậy M là trung điểm của AB nên AM = BM.

Bài 3. Cho tam giác cân EFG có EF = EG. Trên các cạnh EF và EG, lần lượt lấy các điểm H và I sao cho EH = EI.

a) Chứng minh HIGF là hình thang.

b) Chứng minh HIGF là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

a) Ta có EH = EI nên ∆EHI là tam giác cân tại E.

Suy ra $\widehat{EHI}=\widehat{EIH}=\frac{180°-\hat{E}}{2}$ (1)

Lại có EF = EG nên ∆EFG là tam giác cân tại E.

Suy ra $\widehat{EFG}=\widehat{EGF}=\frac{180°-\hat{E}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{EHI}=\widehat{EFG}$.

Mà $\widehat{EHI}$ và $\widehat{EFG}$ ở vị trí đồng vị nên HI // FG (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra tứ giác HIGF là hình thang.

b) Vì ∆EFG là tam giác cân nên $\hat{F}=\hat{G}$.

Suy ra hình thang HIGF là hình thang cân.

Bài 4. Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AC = BD.

a) Hình thang ABCD là hình thang gì? Vì sao?

b) Chứng minh $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì hai đường chéo của hình thang ABCD là AC và BD bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân.

b) Theo tính chất hình thang cân, ta có: AB = DC

Xét ∆ABD và ∆DCA có:

AD là cạnh chung;

AB = DC;

BD = AC.

Suy ra ∆ABD = ∆DCA (c.c.c)

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ (hai cạnh tương ứng).

Video bài giảng Toán 8 Bài 3: Hình thang – Hình thang cân – Chân trời sáng tạo

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Tứ giác

Lý thuyết Bài 3: Hình thang – Hình thang cân

Lý thuyết Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Lý thuyết Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Lý thuyết Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

Lý thuyết Bài 2: Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu