Giải Toán 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 18 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $x^2-x$;

b) $5x^2\left(x-2y\right)-15x\left(x-2y\right)$;

c) $3\left(x-y\right)-5x\left(y-x\right)$.

Phương pháp giải: – Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

– Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Lời giải: 

a) $x^2-x=x.x-x.1=x\left(x-1\right)$

b)

$\begin{array}{rl}& 5x^2\left(x-2y\right)-15x\left(x-2y\right)\\ & =x.5x\left(x-2y\right)-3.5x\left(x-2y\right)\\ & =5x\left(x-2y\right)\left(x-3\right)\end{array}$

c)

$3(x-y)-5x(y-x)$

$=3(x-y)+5x(x-y)$

$=(x-y)(3+5x)$

Trả lời câu hỏi 2 trang 18 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm $x$ sao cho $3x^2-6x=0$

Phương pháp giải: Phân tích đa thức $3x^2-6x=0$ thành nhân tử, ta được $3x(x-2)$. Tích trên bằng $0$ khi một trong các nhân tử bằng $0$.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& 3x^2-6x=0\\ & 3x.x-2.3x=0\\ & 3x\left(x-2\right)=0\end{array}$

$\Rightarrow 3x=0$ hoặc $x-2=0$

+) Với $3x=0\Rightarrow x=0$

+) Với $x-2=0\Rightarrow x=2$

Vậy $x=0;x=2$

Câu hỏi và bài tập (trang 19 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 39 trang 19 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $3x-6y$;

b) $\frac{2}{5}{x}^2+5x^3+x^{2}y$;

c) $14x^{2}y-21x{y}^2+28x^2{y}^2$;

d) $\frac{2}{5}x(y-1)-\frac{2}{5}y(y-1)$;

e) $10x(x-y)-8y(y-x)$.

Phương pháp giải: – Phân tích các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}3x-6y=3.x-3.2y\\ =3\left(x-2y\right).\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\frac{2}{5}{x}^2+5x^3+x^{2}y\\ =\frac{2}{5}{x}^2+5x.x^2+x^{2}y\\ =x^2\left(\frac{2}{5}+5x+y\right).\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}14x^{2}y-21x{y}^2+28x^2{y}^2\\ =7xy.2x-7xy.3y+7xy.4xy\\ =7xy\left(2x-3y+4xy\right).\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}\frac{2}{5}x\left(y-1\right)-\frac{2}{5}y\left(y-1\right)\\ =\frac{2}{5}\left(y-1\right).x-\frac{2}{5}\left(y-1\right).y\\ =\frac{2}{5}\left(y-1\right)\left(x-y\right).\end{array}$

e)

$\begin{array}{l}10x\left(x-y\right)-8y\left(y-x\right)\\ =10x\left(x-y\right)-8y\left[-\left(x-y\right)\right]\\ =10x\left(x-y\right)+8y\left(x-y\right)\\ =2\left(x-y\right)\left(5x+4y\right).\end{array}$

Bài 40 trang 19 sgk Toán 8 Tập 1: Tính giá trị biểu thức:

a) $15.91,5+150.0,85$;

b) $x(x-1)-y(1-x)$ tại $x=2001$ và $y=1999.$

Phương pháp giải: Phân tích các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung ra ngoài.

Lời giải:

a)

$15.91,5+150.0,85$

$=15.91,5+15.10.0,85$

$=15.91,5+15.8,5$

$=15.(91,5+8,5)$

$=15.100=1500$

b)

$x(x-1)-y(1-x)$

$=x(x-1)-y[-(x-1)]$

$=x(x-1)+y(x-1)$

$=(x-1)(x+y)$

Thay $x=2001,y=1999$ ta được:

$(2001-1)(2001+1999)$

$=2000.4000=8000000$

Bài 41 trang 19 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm $x$, biết:

a) $5x(x-2000)-x+2000=0$;

b) $x^3-13x=0$

Phương pháp giải: Áp dụng:

+) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

+) $A.B=0$ suy ra $A=0$ hoặc $B=0$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}5x\left(x-2000\right)-x+2000=0\\ 5x\left(x-2000\right)-\left(x-2000\right)=0\\ \begin{array}{l}\left(x-2000\right)\left(5x-1\right)=0\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow x-2000=0$ hoặc $5x-1=0$

+) Với $x-2000=0\Rightarrow x=2000$

+) Với $5x-1=0\Rightarrow 5x=1$$\Rightarrow x=\frac{1}{5}$

Vậy $x=\frac{1}{5}$ hoặc $x=2000$

b)

$\begin{array}{l}{x}^3-13x=0\\ x.x^2-13x=0\\ \begin{array}{l}x\left(x^2-13\right)=0\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x^2-13=0$

+) Với $x^2-13=0\Rightarrow x^2=13$

$\Rightarrow x=\sqrt{13}$ hoặc $x=-\sqrt{13}$ 

Vậy $x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{13}$

Bài 42 trang 19 sgk Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng ${55}^{n+1}-{55}^n$ chia hết cho $54$ (với $n$ là số tự nhiên)

Phương pháp giải: Áp dụng

– Phân tích đa thức thành nhân tử.

– Tính chất chia hết của một tích cho một số.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& {55}^{n+1}-{55}^n={55}^n.55-{55}^n\\ & ={55}^n.\left(55-1\right)\\ & ={55}^n.54\end{array}$

Vì $54$ chia hết cho $54$ nên ${55}^n.54$ chia hết cho $54$ với mọi $n$ là số tự nhiên.

Vậy ${55}^{n+1}-{55}^n$ chia hết cho $54$ (với $n$ là số tự nhiên).

Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

1. Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử: Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trình.

3. Phương pháp đặt nhân tử chung: – Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

– Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý với tính chất $A=-\left(-A\right)$)

Ví dụ: 

\(\begin{array}{l}
5x + {x^2}\\
= 5x + x.x\\
= x\left( {5 + x} \right)
\end{array}\)

4. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Sử dụng cách đặt nhân tử chung

Dạng 2: Tìm $\mathbf{x}$

Phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về dạng $A.B=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}$

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho để có thể sử dụng được điều kiện của giả thiết.

Từ đó tính giá trị của biểu thức.

Chú ý: Để tính giá trị biểu thức tại $x=x_0$ ta thay $x=x_0$ vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.