Giải Toán 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Nhân đa thức với đa thức
Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 7 sgk Toán 8 Tập 1: Nhân đa thức $\frac{1}{2}xy-1$ với đa thức $x^3-2x-6.$

Lời giải:

 $=\frac{1}{2}{x}^{1+3}y–x^{1+1}y–3xy–x^3+2x+6=\frac{1}{2}{x}^{4}y–x^{2}y–3xy–x^3+2x+6$

Trả lời câu hỏi 2 trang 7 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

$\begin{array}{rl}& a)\left(x+3\right)\left(x^2+3x-5\right)\\ & b)\left(xy-1\right)\left(xy+5\right)\end{array}$

Phương pháp giải:

– Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức:

– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải:

Trả lời câu hỏi 3 trang 7 sgk Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức tính diện tích của một hình chữ nhật theo $x$ và $y$, biết hai kích thước của hình chữ nhật đó là $(2x+y)$ và $(2x-y).$

Áp dụng: Tính diện tích hình chữ nhật khi $x=2,5$ mét và $y=1$ mét.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

– Công thức tính diện tích hình chữ nhật

– Quy tắc nhân đa thức với đa thức.

– Thay $x=2,5$ và $y=1$ vào biểu thức $S$ tìm được để tính giá trị của $S$.

Lời giải:

Biểu thức tính diện tích hình chữ nhật là:

$S=(2x+y).(2x-y)$

   $=2x.(2x-y)+y.(2x-y)$

   $=2x.2x+2x.(-y)+y.2x+y.(-y)$

   $=4x^2-2xy+2xy-y^2$

   $=4x^2-y^2$

Áp dụng:

Khi $x=2,5$ mét và $y=1$ mét ta có:

$S=4.(2,5{)}^2-1^2=4.6,25-1$$=25-1=24$ $\left(m^2\right)$

Vậy diện tích của hình chữ nhật là $24$ $m^2$

Câu hỏi và bài tập (trang 8, 9 sgk Toán 8 Tập 1)

Trả lời câu hỏi 7 trang 9 sgk Toán 8 Tập 1:Làm tính nhân:

a) $(x^2-2x+1)\left(x-1\right)$;

b) $(x^3-2x^2+x-1)\left(5-x\right)$

Từ câu b), hãy suy ra kết quả phép nhân:

$(x^3-2x^2+x-1)\left(x-5\right)$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

– Qui tắc nhân đa thức với đa thức.

– Qui tắc phá dấu ngoặc: -(b-a)=-b+a=a-b

Lời giải: 

a) $(x^2-2x+1)\left(x-1\right)$

$=(x^2-2x+1).x-(x^2-2x+1).1$

$=x^2.x-2x.x+1.x-x^2.1+2x.1-1.1$

$=x^3-2x^2+x-x^2+2x-1$

$=x^3+(-2x^2-x^2)+(x+2x)-1$

$=x^3-3x^2+3x-1.$

b) $(x^3-2x^2+x-1)\left(5-x\right)$

$=(x^3-2x^2+x-1).5-(x^3-2x^2+x-1).x$

$=x^3.5-2x^2.5+x.5-1.5-x^3.x+2x^2.x-x.x+1.x$ 

$=5x^3-10x^2+5x-5-x^4+2x^3-x^2+x$

$=-x^4+(5x^3+2x^3)+(-10x^2-x^2)+(5x+x)-5$

$=-x^4+7x^3-11x^2+6x-5.$

Ta có: $x-5=-\left(5-x\right)$

Suy ra kết quả của phép nhân:

$\begin{array}{c}\left(x^3-2x^2+x-1\right)\left(x-5\right)\hfill \\ =-\left(x^3-2x^2+x-1\right)\left(5-x\right)\hfill \\ =x^4-7x^3+11x^2-6x+5\hfill \end{array}$

Bài 8 trang 8 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) $\left(x^2{y}^2-\frac{1}{2}xy+2y\right)\left(x-2y\right)$

b) $\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y\right)$

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải:
a)

b)

Bài 9 trang 8 sgk Toán 8 Tập 1: Điền kết quả tính được vào bảng:

Lời giải:

Trước hết, ta làm tính nhân để rút gọn biểu thức, ta được:

$\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

$=x\left(x^2+xy+y^2\right)-y\left(x^2+xy+y^2\right)$

$=x.x^2+x.xy+x.y^2+\left(-y\right).x^2$$+\left(-y\right).xy+\left(-y\right).y^2$

$=x^3+x^{2}y+x{y}^2-y{x}^2-x{y}^2-y^3$

$=x^3+\left(x^{2}y-y{x}^2\right)+\left(x{y}^2-x{y}^2\right)$$-y^3$

$=x^3-y^3$

Sau đó tính giá trị của biểu thức: $A=x^3-y^3$

Ta có:

Khi $x=-10;y=2$ thì $A={\left(-10\right)}^3-2^3=-1000-8$$=-1008$

Khi $x=-1;y=0$ thì $A={\left(-1\right)}^3-0^3=-1$

Khi $x=2;y=-1$ thì $A=2^3-{\left(-1\right)}^3=8+1=9$

Khi $x=-0,5;y=1,25$ thì

$A={\left(-0,5\right)}^3-1,{25}^3$$=-0,125-1,953125=-2,078125$

Bài 10 trang 8 sgk Toán 8 Tập 1: Thực  hiện phép tính:

a) $(x^2-2x+3)(\frac{1}{2}x-5)$

b) $(x^2-2xy+y^2)\left(x-y\right).$

Phương pháp giải:

– Áp dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức để nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải:
a)

b)

Bài 11 trang 8 sgk Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

$(x-5)(2x+3)-2x(x-3)+x+7.$
Lời giải:

Vậy sau khi rút gọn biểu thức ta được hằng số $-8$ nên giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 12 trang 8 sgk Toán 8 Tập 1: Tính giá trị biểu thức $(x^2-5)\left(x+3\right)+\left(x+4\right)(x-x^2)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $x=0;$                  b) $x=15;$

c) $x=-15;$             d) $x=0,15.$

Lời giải:

a) Với $x=0$ giá trị của biểu thức đã cho là:

$-0-15=-15$

b) Với $x=15$ giá trị của biểu thức đã cho là:

$-15-15=-30$

c) Với $x=-15$ giá trị của biểu thức đã cho là:

$-(-15)-15=15-15=0$

d) Với $x=0,15$ giá trị của biểu thức đã cho là:

$-0,15-15=-15,15.$

Bài 13 trang 9 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm $x$, biết: $(12x-5)(4x-1)+(3x-7)(1-16x)$$=81$.Lời giải:

Bài 14 trang 9 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là $192.$
Lời giải:

Gọi ba số chẵn liên tiếp là $a,a+2,a+4$ $\left(a\text{ là số chẵn};a\in \mathbb{N}\right)$

Tích hai số sau là: $(a+2)(a+4)$

Tích hai số đầu là: $a(a+2)$

Theo đề bài tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là $192$ nên ta có:

$(a+2)(a+4)-a(a+2)=192$

$a\left(a+4\right)+2\left(a+4\right)-a\left(a+2\right)=192$

$a.a+a.4+2.a+2.4+(-a).a+(-a).2=192$

$a^2+4a+2a+8-a^2-2a=192$

$\left(a^2-a^2\right)+\left(4a+2a-2a\right)=192-8$

$4a=184$

  $a=184:4$

  $a=46$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy ba số đó là $46,48,50.$

Bài 15 trang 9 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) $\begin{array}{rl}& \left(\frac{1}{2}x+y\right)\left(\frac{1}{2}x+y\right)\end{array}$

b) $\begin{array}{rl}& \left(x-\frac{1}{2}y\right)\left(x-\frac{1}{2}y\right)\end{array}$

Lời giải:

a) 

$\begin{array}{rl}& \left(\frac{1}{2}x+y\right)\left(\frac{1}{2}x+y\right)\\ & =\frac{1}{2}x.\left(\frac{1}{2}x+y\right)+y.\left(\frac{1}{2}x+y\right)\\ & =\frac{1}{2}x.\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x.y+y.\frac{1}{2}x+y.y\\ & =\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xy+y^2\\ & =\frac{1}{4}{x}^2+\left(\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xy\right)+y^2\\ & =\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2\end{array}$

b)

 

Lý thuyết nhân đa thức với đa thức

1. Qui tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

2. Công thức: Cho $A,B,C,D$ là các đa thức ta có:

$(A+B).(C+D)$

$=A(C+D)+B(C+D)$

$=AC+AD+BC+BD.$

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính (hoặc rút gọn biểu thức)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\\ =x.2x+x.1+1.2x+1.1\\ =2x^2+x+2x+1\\ =2x^2+3x+1\end{array}$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Giá trị của biểu thức $f\left(x\right)$ tại $x_0$ là $f\left(x_0\right)$

Ví dụ: 

Tính giá trị của biểu thức:

$A=(x-1)\left(x^2+1\right)-(2x+3)\left(x^2-2\right)$ tại  $x=2$

Ta có: 

$\begin{array}{l}A=\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(2x+3\right)\left(x^2-2\right)\\ \iff A=x.x^2+x.1-1.x^2-1.1-2x.x^2+2x.2-3.x^2+3.2\\ \iff A=x^3+x-x^2-1-2x^3+4x-3x^2+6\\ \iff A=-x^3-4x^2+5x+5\end{array}$

Tại $x=2$ ta có: $A=-2^3-{4.2}^2+5.2+5=-9$.

Dạng 3: Tìm $\mathbf{x}$

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc nhân đa thức với đa thức để biến đổi đưa về dạng tìm $x$ cơ bản.

Ví dụ: 

Tìm x biết:

$\left(x+2\right)\left(x+3\right)-\left(x-2\right)\left(x+5\right)=6$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(x+2\right)(x+3)-\left(x-2\right)\left(x+5\right)=6\\ \iff x.x+3.x+2.x+2.3-x.x-5.x+2.x+2.5=6\\ \iff x^2+3x+2x+6-x^2-5x+2x+10=6\\ \iff 2x+16=6\\ \iff 2x=-10\\ \iff x=-5\end{array}$