Giải SGK Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 6 trang 26

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài tập cuối chương 6 trang 26

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 6.36 trang 26 Toán 8 Tập 2: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{{(x-1)}^2}{x-2}=\frac{{(1-x)}^2}{2-x}$ . 

B. $\frac{3x}{{(x+2)}^2}=\frac{3x}{{(x-2)}^2}$ .

C. $\frac{3x}{{(x+2)}^2}=\frac{-3x}{{(x-2)}^2}$ .   

D. $\frac{3x}{{(x+2)}^2}=\frac{3x}{{(-x-2)}^2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Khẳng định D là đúng vì (x + 2)² = (–x – 2)².

Bài 6.37 trang 26 Toán 8 Tập 2: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\frac{-6x}{-4x^2{(x+2)}^2}=\frac{3}{2x{(x+2)}^2}$ .                    

B. $\frac{-5}{-2}=\frac{10x}{4x}$ .

C. $\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$ .                                  

D. $\frac{-6x}{-4{(-x)}^2{(x-2)}^2}=\frac{3}{2x{(-x+2)}^2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Khẳng định C là sai vì:

(x + 1)(x² – x + 1) = x³ + 1 và (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1.

Suy ra (x + 1)(x² – x + 1) ≠ (x – 1)(x² + x + 1).

Do đó, $\frac{x+1}{x-1}\ne \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$ .

Bài 6.38 trang 26 Toán 8 Tập 2: Trong đẳng thức $\frac{2x^2+1}{4x-1}=\frac{8x^3+4x}{Q}$ , Q là đa thức

A. 4x.                                                         

B. 4x^2.

C. 16x – 4.                                                  

D. 16x² – 4x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

$\frac{2x^2+1}{4x-1}=\frac{8x^3+4x}{Q}$

$\Rightarrow Q=\frac{(8x^3+4x)(4x-1)}{2x^2+1}=\frac{4x(2x^2+1)(4x-1)}{2x^2+1}$

= 4x(4x – 1) = 16x² – 4x.

Bài 6.39 trang 26 Toán 8 Tập 2: Nếu $\frac{-5x+5}{2xy}-\frac{-9x-7}{2xy}=\frac{bx+c}{xy}$  thì b + c bằng:

A. –4.                                                         

B. 8.

C. 4.                                                           

D. –10.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{-5x+5}{2xy}-\frac{-9x-7}{2xy}=\frac{-5x+5+9x+7}{2xy}$$=\frac{4x+12}{2xy}=\frac{2x+6}{xy}$ .

Suy ra b = 2 và c = 6.

Vậy b + c = 2 + 6 = 8.

Bài 6.40 trang 25 Toán 8 Tập 2: Một ngân hàng huy động vốn với mức lãi suất một năm là x%. Để sau một năm, người gửi được lãi a đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là

A. $\frac{100a}{x}$ (đồng).                                         

B. $\frac{a}{x+100}$  (đồng).

C. $\frac{a}{x+1}$  (đồng).                                         

D. $\frac{100a}{x+100}$  (đồng).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Sau một năm, người gửi lãi a đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là: $\frac{100a}{x}$ .

Vì $\frac{100a}{x}.x\%=\frac{100a}{x}.\frac{x}{100}=a$ .

B. TỰ LUẬN

Bài 6.41 trang 26 Toán 8 Tập 2: Tìm đa thức P trong các đẳng thức sau:

a) $P+\frac{1}{x+2}=\frac{x}{x^2-2x+4}$ ;                          

b) $P-\frac{4(x-2)}{x+2}=\frac{16}{x-2};$

c) $P.\frac{x-2}{x+3}=\frac{x^2-4x+4}{x^2-9}$ ;                             

d) $P:\frac{x^2-9}{2x+4}=\frac{x^2-4}{x^2+3x}$ .

Lời giải:

a) $P+\frac{1}{x+2}=\frac{x}{x^2-2x+4}$

Suy ra $P=\frac{x}{x^2-2x+4}-\frac{1}{x+2}$

              $=\frac{x(x+2)-x^2+2x-4}{(x^2-2x+4)(x+2)}$

              $=\frac{x^2+2x-x^2+2x-4}{x^3+8}$

              $=\frac{4x-4}{x^3+8}$.

b) $P-\frac{4(x-2)}{x+2}=\frac{16}{x-2}$

Suy ra $P=\frac{16}{x-2}+\frac{4x-8}{x+2}$

             $=\frac{16(x+2)+(4x-8)(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

             $=\frac{16x+32+4x^2-8x-8x+16}{(x-2)(x+2)}$

             $=\frac{4x^2+48}{x^2-4}$.

c) $P.\frac{x-2}{x+3}=\frac{x^2-4x+4}{x^2-9}$

Suy ra $P=\frac{x^2-4x+4}{x^2-9}:\frac{x-2}{x+3}$

             $=\frac{x^2-4x+4}{x^2-9}.\frac{x+3}{x-2}$

             $=\frac{{(x-2)}^2(x+3)}{(x+3)(x-3)(x-2)}$

             $=\frac{x-2}{x-3}$.

d) $P:\frac{x^2-9}{2x+4}=\frac{x^2-4}{x^2+3x}$

Suy ra $P=\frac{x^2-4}{x^2+3x}.\frac{x^2-9}{2x+4}$

             $=\frac{(x-2)(x+2)(x+3)(x-3)}{x(x+3).2(x+2)}$

             $=\frac{(x-2)(x-3)}{2x}$.

Bài 6.42 trang 26 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{2}{3x}+\frac{x}{x-1}+\frac{6x^2-4}{2x(1-x)}$ ;                            

b) $\frac{x^3+1}{1-x^3}+\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}$ ;

c) $\left(\frac{2}{x+2}-\frac{2}{1-x}\right).\frac{x^2-4}{4x^2-1}$ ;                          

d) $1+\frac{x^3-x}{x^2+1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}\right)$ .

Lời giải:

a) $\frac{2}{3x}+\frac{x}{x-1}+\frac{6x^2-4}{2x(1-x)}$

$=\frac{2}{3x}-\frac{x}{1-x}+\frac{2(3x^2-2)}{2x(1-x)}$

$=\frac{2}{3x}-\frac{x}{1-x}+\frac{3x^2-2}{x(1-x)}$

$=\frac{2(1-x)-x.3x+3(3x^2-2)}{3x(1-x)}$

$=\frac{2-2x-3x^2+9x^2-6}{3x(1-x)}$

$=\frac{6x^2-2x-4}{3x(1-x)}$.

b)$\frac{x^3+1}{1-x^3}+\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}$

$=\frac{x^3+1}{(1-x)(x^2+x+1)}-\frac{x}{1-x}-\frac{x+1}{x^2+x+1}$

$=\frac{x^3+1-x(x^2+x+1)-(1-x)(x+1)}{(1-x)(x^2+x+1)}$

$=\frac{x^3+1-x^3-x^2-x-1+x^2}{(1-x)(x^2+x+1)}$

$=\frac{-x}{1-x^3}=\frac{x}{x^3-1}$.

c) $\left(\frac{2}{x+2}-\frac{2}{1-x}\right).\frac{x^2-4}{4x^2-1}$

$=\frac{2(1-x)-2(x+2)}{(x+2)(1-x)}.\frac{(x+2)(x-2)}{(2x-1)(2x+1)}$

$=\frac{(-4x-2)(x-2)}{(1-x)(2x-1)(2x+1)}$

$=\frac{-2(2x+1)(x-2)}{(1-x)(2x-1)(2x+1)}$

$=\frac{-2x+4}{(1-x)(2x-1)}=\frac{2x-4}{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}$.

d) $1+\frac{x^3-x}{x^2+1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}\right)$

$=1+\frac{x(x^2-1)}{x^2+1}.\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}\right)$

$=1+\frac{x(x^2-1)}{x^2+1}.\frac{1+x-1}{1-x^2}$

$=1+\frac{-x^2(x^2-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}$

$=1+\frac{-x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x^2+1}$

$=\frac{1}{x^2+1}$.

Bài 6.43 trang 26 Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{2x+1}{x+1}$ .

a) Viết điều kiện xác định của P.

b) Hãy viết P dưới dạng $P=a-\frac{b}{x+1}$ , trong đó a, b là hai số nguyên dương.

c) Với giá trị nguyên nào của x thì P có giá trị là số nguyên?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của P là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ –1.

b) $P=\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$ .

c) Vì $P=2-\frac{1}{x+1}$  nên $\frac{1}{x+1}=2-P$ . Nếu x và P là số nguyên thì $\frac{1}{x+1}$  cũng là số nguyên, do đó x + 1 là ước của số 1 hay x + 1 $\in$  {–1; 1}.

Do vậy x + 1 = – 1, suy ra x = – 2 hoặc x + 1 = 1, suy ra x = 0.

Vậy giá trị của P là số nguyên khi x = 0 hoặc x = – 2.

Bài 6.44 trang 26 Toán 8 Tập 2: Một xe ô tô đi từ Hà Nội đến Vinh với vận tốc 60 km/h và dự kiến sẽ đến Vinh sau 5 giờ xe chạy. Tuy nhiên, sau $2\frac{2}{3}$  giờ chạy với vận tốc 60 km/h, xe dừng nghỉ 20 phút. Sau khi dừng nghỉ, để đến Vinh đúng thời gian dự kiến, xe phải tăng vận tốc so với chặng đầu.

a) Tính độ dài quãng đường Hà Nội – Vinh.

b) Tính độ dài quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ.

c) Cho biết ở chặng thứ hai xe tăng vận tốc thêm x (km/h). Hãy viết biểu thức P biểu thị thời gian (tính bằng giờ) thực tế xe chạy hết chặng đường Hà Nội – Vinh.

d) Tính giá trị của P lần lượt tại x = 5; x = 10; x = 15, từ đó cho biết ở chặng thứ hai (sau khi xe dừng nghỉ):

– Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì xe đến Vinh muộn hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

– Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì xe đến Vinh có đúng thời gian dự kiến không?

– Nếu tăng vận tốc thêm 15 km/h thì xe đến Vinh sớm hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

Lời giải:

a) Quãng đường Hà Nội – Vinh dài 5.60 = 300 (km).

b) Trước khi dừng nghỉ, xe chạy trong $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$  (giờ)

Chiều dài chặng đầu là $\frac{8}{3}.60=160$  (km).

Chặng còn lại dài 300 – 160 = 140 (km).

c) Nếu vận tốc tăng thêm x (km/h) thì vận tốc thực tế của xe chạy trên chặng sau là

60 + x (km/h).

Thời gian thực tế xe chạy chặng sau là $\frac{140}{60+x}$  (giờ).

Thời gian xe chạy chặng đầu là $\frac{8}{3}$  giờ, dừng nghỉ 20 phút = $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$  giờ.

Vì vậy thực tế xe chạy từ Hà Nội đến Vinh trong thời gian là:

$P=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+\frac{140}{60+x}=3+\frac{140}{60+x}$ (giờ).

d) Giá trị của P = 3 + $\frac{140}{60+x}$ tại x = 5; x = 10; x = 15 được cho trong bảng sau:

x	5	10	15
P	$3+\frac{140}{60+5}=\frac{67}{13}$	$3+\frac{140}{60+10}=5$	$3+\frac{140}{60+15}=\frac{73}{15}$

– Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h (tức là x = 5) thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là $\frac{67}{13}>5$. Xe đến Vinh muộn hơn dự kiến là $\frac{67}{13}-5=\frac{2}{13}$ (giờ).

– Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h (tức là x = 10) thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là 5 giờ nên xe đến Vinh đúng thời gian dự định.

– Nếu tăng vận tốc thêm 15 km/h (tức là x = 15) thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là $\frac{73}{15}<5$. Xe đến Vinh sớm hơn dự kiến là $5-\frac{73}{15}=\frac{2}{15}$  (giờ).