Giải SGK Toán 8 Bài 7 (Kết nối tri thức): Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

1. Lập phương của một tổng

HĐ 1 trang 34 Toán 8 Tập 1: Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính

$(a + b) {(a + b)}^{2}$

Từ đó rút ra liên hệ giữa ${(a + b)}^{3}$ và $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} (a + b) {(a + b)}^{2} = (a + b) . (a^{2} + 2 a b + b^{2}) = a . a^{2} + a .2 a b + a . b^{2} + b . a^{2} + b .2 a b + b . b^{2} \\ = a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3} \\ = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \end{array}$

Luyện tập 1 trang 35 Toán 8 Tập 1: 1. Khai triển:

a) ${(x + 3)}^{3}$

b) ${(x + 2 y)}^{3}$

2. Rút gọn biểu thức ${(2 x + y)}^{3} - 8 x^{3} - y^{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

Lời giải:

a) ${(x + 3)}^{3} = x^{3} + 3. x^{2} .3 + 3. x {.3}^{2} + 3^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

b) ${(x + 2 y)}^{3} = x^{3} + 3. x^{2} .2 y + 3. x . {(3 y)}^{2} + {(3 y)}^{3} = x^{3} + 6 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}$

$\begin{array}{l} {(2 x + y)}^{3} - 8 x^{3} - y^{3} = {(2 x)}^{3} + 3. {(2 x)}^{2} . y + 3.2 x . y^{2} + y^{3} - 8 x^{3} - y^{3} \\ = 8 x^{2} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3} - 8 x^{3} - y^{3} \\ = (8 x^{2} - 8 x^{2}) + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + (y^{3} - y^{3}) \\ = 12 x^{2} y + 6 x y^{2} \end{array}$

Luyện tập 2 trang 35 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức $x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3} \\ = x^{3} + 3. x^{2} .3 y + 3. x . {(3 y)}^{2} + {(3 y)}^{3} \\ = {(x + 3 y)}^{3} \end{array}$

2. Lập phương của một hiệu

HĐ 2 trang 35 Toán 8 Tập 1: Với hai số $a, b$ bất kì, viết $a - b = a + (- b)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính ${(a - b)}^{3}$ .

Từ đó rút ra liên hệ giữa ${(a - b)}^{3}$ và $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

Lời giải:

${(a - b)}^{3} = {[a + (- b)]}^{3} = a^{3} + 3. a^{2} . (- b) + 3. a . {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Từ đó ta có ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Luyện tập 3 trang 35 Toán 8 Tập 1: Khai triển ${(2 x - y)}^{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Lời giải:

${(2 x - y)}^{3} = {(2 x)}^{3} - 3. {(2 x)}^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

Luyện tập 4 trang 36 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} 8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3} \\ = {(2 x)}^{3} - 3. {(2 x)}^{2} .3 y + 3. (2 x) . {(3 y)}^{2} - {(3 y)}^{3} \\ = {(2 x - 3 y)}^{3} \end{array}$

Vận dụng trang 36 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng 2 hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} +) {(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3} \\ +) {(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3} \end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} {(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ = (x^{3} + x^{3}) + (- 3 x^{2} y + 3 x^{2} y) + (3 x y^{2} + 3 x y^{2}) + (- y^{3} + y^{3}) \\ = 2 x^{3} + 6 x y^{2} \end{array}$

Bài tập

Bài 2.7 trang 36 Toán 8 Tập 1: Khai triển:

a) ${(x^{2} + 2 y)}^{3}$ ;

b) ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{3}$ .

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} {(x^{2} + 2 y)}^{3} = {(x^{2})}^{3} + 3. {(x^{2})}^{2} .2 y + 3. x^{2} . {(2 y)}^{2} + {(2 y)}^{3} \\ = x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} + 8 y^{3} \end{array}$

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{3} = {(\frac{1}{2} x)}^{3} - 3. {(\frac{1}{2} x)}^{2} .1 + 3. \frac{1}{2} x {.1}^{2} - 1^{3} = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$

Lời giải:

$\begin{array}{l} {(x^{2} + 2 y)}^{3} = {(x^{2})}^{3} + 3. {(x^{2})}^{2} .2 y + 3. x^{2} . {(2 y)}^{2} + {(2 y)}^{3} \\ = x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} + 8 y^{3} \end{array}$

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{3} = {(\frac{1}{2} x)}^{3} - 3. {(\frac{1}{2} x)}^{2} .1 + 3. \frac{1}{2} x {.1}^{2} - 1^{3} = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$

Bài 2.8 trang 36 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) $27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3}$ .

b) $64 x^{3} - 144 x^{2} y + 108 x y^{2} - 27 y^{3}$ .

Phương pháp giải

a) $27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3} = 3^{3} + {3.3}^{2} .2 x + 3.3. {(2 x)}^{2} + {(2 x)}^{3} = {(3 + 2 x)}^{3}$

b) $64 x^{3} - 144 x^{2} y + 108 x y^{2} - 27 y^{3} = {(4 x)}^{3} - 3. {(4 x)}^{2} .3 y + 3.4 x . {(3 y)}^{2} - {(3 y)}^{3} = {(4 x - 3 y)}^{3}$

Lời giải:

a) $27 + 54 x + 36 x^{2} + 8 x^{3} = 3^{3} + {3.3}^{2} .2 x + 3.3. {(2 x)}^{2} + {(2 x)}^{3} = {(3 + 2 x)}^{3}$

b) $64 x^{3} - 144 x^{2} y + 108 x y^{2} - 27 y^{3} = {(4 x)}^{3} - 3. {(4 x)}^{2} .3 y + 3.4 x . {(3 y)}^{2} - {(3 y)}^{3} = {(4 x - 3 y)}^{3}$

Bài 2.9 trang 36 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ tại x=7.

b) $27 - 54 x + 36 x^{2} - 8 x^{3}$ tại x=6,5.

Phương pháp giải

a) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = x^{3} + 3. x^{2} .3 + 3. x {.3}^{2} + 3^{3} = {(x + 3)}^{3}$

Thay x=7 vào biểu thức ta được: ${(7 + 3)}^{3} = 10^{3} = 1000$ .

b) $27 - 54 x + 36 x^{2} - 8 x^{3} = 3^{3} - {3.3}^{2} .2 x + 3.3. {(2 x)}^{2} - {(2 x)}^{3} = {(3 - 2 x)}^{3}$

Thay x=6,5 vào biểu thức ta được: ${(3 - 2.6, 5)}^{3} = {(- 10)}^{3} = - 1000$ .

Lời giải:

a) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = x^{3} + 3. x^{2} .3 + 3. x {.3}^{2} + 3^{3} = {(x + 3)}^{3}$

Thay x=7 vào biểu thức ta được: ${(7 + 3)}^{3} = 10^{3} = 1000$ .

b) $27 - 54 x + 36 x^{2} - 8 x^{3} = 3^{3} - {3.3}^{2} .2 x + 3.3. {(2 x)}^{2} - {(2 x)}^{3} = {(3 - 2 x)}^{3}$

Thay x=6,5 vào biểu thức ta được: ${(3 - 2.6, 5)}^{3} = {(- 10)}^{3} = - 1000$ .

Bài 2.10 trang 36 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${(x - 2 y)}^{3} + {(x + 2 y)}^{3}$

b) ${(3 x + 2 y)}^{3} + {(3 x - 2 y)}^{3}$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} {(x - 2 y)}^{3} + {(x + 2 y)}^{3} \\ = x^{3} - 3. x^{2} .2 y + 3. x . {(2 y)}^{2} - {(2 y)}^{3} + x^{3} + 3. x^{2} .2 y + 3. x . {(2 y)}^{2} + {(2 y)}^{3} \\ = 2 x^{3} + 24 x y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(3 x + 2 y)}^{3} + {(3 x - 2 y)}^{3} \\ = {(3 x)}^{3} + 3. {(3 x)}^{2} .2 y + 3.3 x {(2 y)}^{2} + {(2 y)}^{3} + {(3 x)}^{3} - 3. {(3 x)}^{2} .2 y + 3.3 x {(2 y)}^{2} - {(2 y)}^{3} \\ = 54 x^{3} + 72 x y^{2} \end{array}$

Lời giải:

Bài 2.11 trang 36 Toán 8 Tập 1: Chứng minh ${(a - b)}^{3} = - {(b - a)}^{3}$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \\ - {(b - a)}^{3} = - (b^{3} - 3 b^{2} a + 3 b a^{2} - a^{3}) = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \end{array}$

Vậy ${(a - b)}^{3} = - {(b - a)}^{3}$ (đpcm).

Lời giải:

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \\ - {(b - a)}^{3} = - (b^{3} - 3 b^{2} a + 3 b a^{2} - a^{3}) = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \end{array}$

Vậy ${(a - b)}^{3} = - {(b - a)}^{3}$ (đpcm).

Video bài giảng Toán 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu – Kết nối tri thức

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Luyện tập chung trang 40

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy