Giải SGK Toán 8 Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ (h.29)

Nhìn vào hình vẽ hãy viết các cặp góc bằng nhau.

Tính các tỉ số $\frac{A‘B‘}{AB};\frac{B‘C‘}{BC};\frac{C‘A‘}{CA}$  rồi so sánh các tỉ số đó

Lời giải:

Các cặp góc bằng nhau:

$\widehat{A}=\widehat{A‘};\widehat{B}=\widehat{B‘};\widehat{C}=\widehat{C‘}\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{A‘C‘}{AC}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2};\frac{B‘C‘}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{A‘C‘}{AC}=\frac{B‘C‘}{BC}$.

Câu hỏi 2 trang 70 Toán 8 Tập 2: 1) Nếu ΔA’B’C’ = ΔABC thì tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC không? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

2) Nếu ΔA’B’C’ $~$ ΔABC theo tỉ số k thì ΔABC $~$ ΔA’B’C’ theo tỉ số nào ?

Lời giải

1) Nếu ΔABC = ΔA’B’C’ ta suy ra:

AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’

$\widehat{A}=\widehat{A‘};\widehat{B}=\widehat{B‘};\widehat{C}=\widehat{C‘}$

Theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng, suy ra hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau.

Vì $\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{A‘C‘}{AC}=\frac{B‘C‘}{BC}$= 1 nên tỉ số đồng dạng là k = 1.

2) Nếu  $\Delta A‘B‘C‘ ~$  ABC theo tỉ số k thì:

$\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{A‘C‘}{AC}=\frac{B‘C‘}{BC}=k$

Suy ra : 

$\frac{AB}{A‘B‘}=\frac{AC}{A‘C‘}=\frac{BC}{B‘C‘}=\frac{1}{k}$

Vậy tam giác ABC đồng dạng tam giác A’B’C’ theo tỉ số $\frac{1}{k}$.

Câu hỏi 3 trang 70 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Kẻ đường thẳng a song song với cạnh BC và cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại M và N. Hai tam giác AMN và ABC có các góc và các cạnh tương ứng như thế nào ?

Lời giải:

– Hai tam giác AMN và ABC có các góc tương ứng bằng nhau:

$\widehat{A}$ chung ;

$\widehat{M}=\widehat{B}$; (hai góc đồng vị)

$\widehat{N}=\widehat{C}$ (hai góc đồng vị)

– Và có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

(theo hệ quả định lí Ta- let).

Bài tập (trang 71; 72)

Bài 23 trang 71 Toán 8 Tập 2: Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.

Lời giải:

a) Mệnh đề Đúng.

Giả sử có ΔABC = ΔA’B’C’

Suy ra:  $\widehat{A}=\widehat{A‘};\widehat{B}=\widehat{B‘};\widehat{C}=\widehat{C‘}$   (1)

Và AB = A’B’; BC = B’C’;  CA = C’A’.

Vì AB = A’B’

 $\Rightarrow \frac{AB}{A‘B‘}=1;BC=B‘C‘\Rightarrow \frac{BC}{B‘C‘}=1$

 $CA=C‘A‘\Rightarrow \frac{CA}{C‘A‘}=1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra   $\Delta ABC ~\Delta$ A’B’C’.

b) Mệnh đề Sai.

  $\Delta ABC~△$DEF.

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\widehat{A}=\widehat{D};\widehat{B}=\widehat{E};\widehat{C}=\widehat{F}$

Và $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$

Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}2AB=DE\\ 2AC=DF\\ 2BC=EF\end{array}\right.$

Do đó: ΔABC và ΔDEF không bằng nhau

Bài 24 trang 72 Toán 8 Tập 2: ΔA’B’C’  $~$ ΔA”B”C” theo tỉ số đồng dạng k₁, ΔA”B”C”  ΔABC theo tỉ số đồng dạng k₂. Hỏi tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số nào?

Lời giải:

ΔA’B’C’ $~$  ΔA”B”C” theo tỉ số đồng dạng k₁ 

⇒ $\frac{A‘B‘}{A“B“}=k_1$

ΔA”B”C” $~$ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k₂

 ⇒ $\frac{A“B“}{AB}=k_2$

Mà ΔA’B’C’ $~$  ΔA”B”C”; ΔA”B”C” ⁓ ΔABC

⇒ ΔA’B’C’ $~$  ΔABC (theo tính chất 3)

Tỉ số đồng dạng:

$k=\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{A‘B‘}{A“B“}.\frac{A“B“}{AB}=k_1.k_2$.

Vậy tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k₁.k₂.

Bài 25 trang 72 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm AC.

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MN // BC (định lý)

⇒ ΔAMN  $~$ ΔABC theo tỉ số  $\frac{1}{2}$.

Bài 26 trang 72 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k = $\frac{2}{3}$.

Lời giải:

+ Dựng ΔADE   ΔABC theo tỉ số $k=\frac{2}{3}$

Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho 

 $AD=\frac{2}{3}AB;AE=\frac{2}{3}AC$.

Suy ra: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$.

Khi đó theo định lý Ta – let đảo ta suy ra DE // BC

⇒ ΔADE  $~$ ΔABC theo tỉ số $k=\frac{2}{3}$ (định lý)

+ Dựng ΔA’B’C’ = ΔADE

Vẽ đoạn A’B’ = AD.

Dựng góc $\widehat{A‘B‘x}=\widehat{ADE}$

Trên tia B’x lấy điểm C’ sao cho B’C’ = DE.

Nối C’A’ ta được ΔA’B’C’ = ΔADE (c – g – c)

Suy ra: ΔA’B’C’ đồng dạng với ΔADE theo tỉ số:

$k_1=\frac{A‘B‘}{AD}=1$

Mà ∆ADE $~$ ∆ABC theo tỉ số

$k_2=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$.

Suy ra: ∆A’B’C’ $~$ ∆ABC theo tỉ số:

$k=k_1.k_2=\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{2}{3}$( áp dụng bài 24).

Bài 27 trang 72 Toán 8 Tập 2: Từ điểm M thuộc cạnh AB của tam giác ABC với AM = $\frac{1}{2}$ MB, kẻ các tia song song với AC và BC, chúng cắt BC và AC lần lượt tại L và N.

a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.

b) Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng. Hãy viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số đồng dạng tương ứng.

Lời giải:

a) ΔABC có MN // BC (M ∈ AB; N ∈ AC) ⇒ ΔAMN $~$  ΔABC (định lí)

ΔABC có ML // AC (M ∈ AB; L ∈ BC) ⇒ ΔMBL $~$ ΔABC (định lí)

Vì ΔAMN  $~$ ΔABC và ΔMBL $~$  ΔABC

 ⇒ ΔAMN  $~$ ΔMBL.

b) Xét ΔAMN  $~$ ΔABC có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AMN}=\widehat{B};\widehat{ANM}=\widehat{C}\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

Tỉ số đồng dạng : $k=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$  ( Vì $AM=\frac{1}{2}MB$).

Xét ΔMBL $~$ ΔABC có:

$\widehat{B}$ chung

$\begin{array}{l}\widehat{BML}=\widehat{A};\widehat{MLK}=\widehat{C}\\ \frac{BM}{BA}=\frac{BL}{BC}=\frac{ML}{AC}\end{array}$

Tỉ số đồng dạng: $k‘=\frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}$

Xét ΔAMN  $~$ ΔMBL có:

$\begin{array}{l}\widehat{AMN}=\widehat{B};\widehat{ANM}=\widehat{BLM};\widehat{A}=\widehat{BML}\\ \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{ML}=\frac{MN}{BL}\end{array}$

Tỉ số đồng dạng: $k“=\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}$.

Bài 28 trang 72 Toán 8 Tập 2: ΔA’B’C’ $~$  ΔABC theo tỉ số đồng dạng k = $\frac{3}{5}$.

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm, tính chu vi của mỗi tam giác.

Lời giải:

a) Gọi chu vi tam giác A’B’C’ là P’ và chu vi tam giác ABC là P.

Vì ΔA’B’C’  $~$ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k = $\frac{3}{5}$

Suy ra: 

$\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{B‘C‘}{BC}=\frac{C‘A‘}{CA}=\frac{3}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

$\frac{3}{5}=\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{B‘C‘}{BC}=\frac{C‘A‘}{CA}=\frac{A‘B‘+B‘C‘+C‘A‘\text{}}{AB+BC+\text{\hspace{0.17em}}CA}=\frac{P‘}{P}$

Vậy tỉ số chu vi tam giác A’B’C’ và tam giác ABC là $\frac{3}{5}$.

a)    Theo a ta có:

 $\frac{P‘}{P}=\frac{3}{5}\Rightarrow P‘=\frac{3}{5}P$

Mà P – P’ = 40

Suy ra: 

$P-\frac{3}{5}P=40\iff \frac{2}{5}P=40$

⇒ P = 100 ⇒ P’ = 60.

Vậy chu vi tam giác ABC bằng 100dm và chu vi tam giác A’B’C’ là 60dm.