Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải Toán 8 trang 23 Tập 1
Khởi động trang 23 Toán 8 Tập 1: Phát biểu của bạn nữ: “993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.”
Phát biểu của bạn nam: “Đúng rồi. Vì n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1 mà. (n là số tự nhiên, n > 1)”
Phát biểu của hai bạn có đúng không? Vì sao?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Ta có: 993 – 99 = 99.(992 – 1)
= 99.(992 – 12)
= 99.(99 – 1).(99 + 1)
= 99.98.100
Do đó 993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.
Ta có: n3 – n = n(n2 – 1)
= n.(n – 1).(n + 1)
Do đó n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.
Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Khám phá 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5; b = 3,5 (các kích thước tính theo mét).
Tính theo cách nào nhanh hơn?
Lời giải:
Cách 1: Tính tổng diện tích các hình.
Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) (m2).
Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab (m2).
Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a (m2).
Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a (m2).
Với a = 5 và b = 3,5 ta có:
S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5
= 5 . (3,5 – 1 + 3,5 + 4,5)
= 5 . 10,5
= 52,5 (m2).
Cách 2: Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.
Chiều dài của nền nhà là:
b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).
Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) (m2).
Với a = 5 và b = 3,5 ta có:
S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 (m2).
Chú ý: Ngoài 2 cách trên ta có thể tính diện tích của nền nhà theo cách khác.
Trong tất cả các cách thì ta thấy Cách 2 là nhanh nhất.
Giải Toán 8 trang 24 Tập 1
Thực hành 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P = 6x – 2x3;
b) Q = 5x3 – 15x2y;
c) R = 3x3y3 – 6xy3z + xy.
Lời giải:
a) P = 6x – 2x3
= 2x.3 – 2x.x2
= 2x(3 – x2).
b) Q = 5x3 – 15x2y
= 5x2.x – 5x2.3y
= 5x2(x – 3y).
c) R = 3x3y3 – 6xy3z + xy
= xy.3x2y2 – xy.6y2z + xy.1
= xy(3x2y2 – 6y2z + 1).
2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
Khám phá 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ , từ đó hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức sau thành nhân tử:….
a)
b)
Lời giải:
a)
b)
Thực hành 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 9x2 – 16;
b) 4x2 – 12xy + 9y2;
c) t3 – 8;
d) 2ax3y3 + 2a.
Lời giải:
a) 9x2 – 16 = (3x)2 – 42
= (3x – 4)(3x + 4).
b) 4x2 – 12xy + 9y2
= (2x)2 – 2.2x.3y + (3y)2
= (2x – 3y)2.
c) t3 – 8 = t3 – 23
= (t – 2)(t2 + t.2 + 22)
= (t – 2)(t2 – 2t + 4).
d) 2ax3y3 + 2a
= 2a.(x3y3 + 1)
= 2a.[(xy)3 + 13]
= 2a(xy + 1)[(xy)2 – xy.1 + 12]
= 2a(xy + 1)(x2y2 – xy + 1).
Vận dụng 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích 2x3 – 18x (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x
Lời giải:
Ta có: 2x3 – 18x = 2x(x2 – 9)
= 2x(x2 – 32)
= 2x(x – 3)(x + 3)
Vậy hình hộp chữ nhật có thể tích 2x3 – 18x (với x > 3) sẽ có độ dài ba kích thước là 2x, x – 3 và x + 3.
Vận dụng 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Giải đáp câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 23)
Lời giải:
Ta có: 993 – 99 = 99.(992 – 1)
= 99.(992 – 12)
= 99.(99 – 1).(99 + 1)
= 99.98.100
Do đó 993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.
Ta có: n3 – n = n(n2 – 1)
= n.(n – 1).(n + 1)
Do đó n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.
Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.
3. Phương pháp nhóm hạng tử
Khám phá 3 trang 24 Toán 8 Tập 1: Hãy hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức thành nhân tử:
a2 + ab + 2a + 2b = (a2 + ab) + (2a + 2b) = …
Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?
Lời giải:
a2 + ab + 2a + 2b
= (a2 + ab) + (2a + 2b)
= a(a + b) + 2(a + b)
= (a + b)(a + 2).
Ta có thể biến đổi theo cách khác như sau:
a2 + ab + 2a + 2b
= (a2 + 2a) + (ab + 2b)
= a(a + 2) + b(a + 2)
= (a + 2)(a + b).
Giải Toán 8 trang 25 Tập 1
Thực hành 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) a3 – a2b + a – b;
b) x2 – y2 + 2y – 1.
Lời giải:
a) a3 – a2b + a – b
= (a3 – a2b) + (a – b)
= a2(a – b) + (a – b)
= (a – b)(a2 + 1).
b) x2 – y2 + 2y – 1
= x2 – (y2 – 2y + 1)
= x2 – (y – 1)2
= (x + y – 1).[x – (y – 1)]
= (x + y – 1)(x – y + 1).
Vận dụng 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).
Lời giải:
Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: a2 (m2).
Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng a là: a.1 = a (m2).
Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng a là: ab (m2).
Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng 1 là: b.1 = b (m2).
Tổng diện tích bốn tấm pin mặt trời là:
S = a2 + a + ab + b = (a2 + a) + (ab + b)
= a(a + 1) + b(a + 1)
= (a + 1)(a + b) (m2).
Vậy có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật có chiều rộng là a + 1 (m) và chiều dài là a + b (m).
Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:
• Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).
• Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).
• Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 (m2).
Bài tập
Bài 1 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 + 4x;
b) 6ab – 9ab2;
c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x);
d) (x – y)2 – x(y – x).
Lời giải:
a) x3 + 4x = x.x2 + x.4 = x(x2 + 4).
b) 6ab – 9ab2 = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).
c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x)
= 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]
= 2a(x – 1) – 3b(x – 1)
= (x – 1)(2a – 3b).
d) (x – y)2 – x(y – x)
= (x – y)2 + x(x – y)
= (x – y)(x – y + x)
= (x – y)(2x – y).
Bài 2 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 – 1;
b) (x + 2)2 – 9;
c) (a + b)2 – (a – 2b)2.
Lời giải:
a) 4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1)(2x –1).
b) (x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32
= (x + 2 + 3)(x + 2 – 3)
= (x + 5)(x – 1).
c) (a + b)2 – (a – 2b)2
= [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]
= [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]
= (2a – b).3b.
Bài 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4a2 + 4a + 1;
b) –3x2 + 6xy – 3y2;
c) (x + y)2 – 2(x + y)z + z2.
Lời giải:
a) 4a2 + 4a + 1
= (2a)2 + 2.2a.1 + 12
= (2a + 1)2.
b) –3x2 + 6xy – 3y2
= –3(x2 – 2xy + y2)
= –3(x – y)2.
c) (x + y)2 – 2(x + y)z + z2
= [(x + y) – z]2
= (x + y – z)2.
Bài 4 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3 – 1;
b) x3 + 27y3;
c) x3 – y6.
Lời giải:
a) 8x3 – 1
= (2x)3 – 13
= (2x – 1)[(2x)2 + 2x.1 + 12]
= (2x – 1)(4x2 + 2x + 1).
b) x3 + 27y3
= x3 + (3y)3
= (x + 3y)[x2 – x.3y + (3y)2]
= (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2).
c) x3 – y6
= x3 – (y2)3
= (x – y2)[x2 + x.y2 + (y2)2]
= (x – y2)(x2 + xy2 + y4).
Bài 5 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x3 – 16x;
b) x4 – y4;
c) xy2 + x2y + y3;
d) x2 + 2x – y2 + 1.
Lời giải:
a) 4x3 – 16x
= 4x(x2 – 4)
= 4x(x2 – 22)
= 4x(x + 2)(x – 2).
b) x4 – y4
= (x2)2 – (y2)2
= (x2 + y2)(x2 – y2)
= (x2 + y2)(x + y)(x – y).
c) xy2 + x2y + y3
= y(xy + x2 + y2)
.
d) x2 + 2x – y2 + 1
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2
= (x + 1 + y)(x + 1 – y).
Bài 6 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – xy + x – y;
b) x2 + 2xy – 4x – 8y;
c) x3 – x2 – x + 1.
Lời giải:
a) x2 – xy + x – y
= (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 1).
b) x2 + 2xy – 4x – 8y
= (x2 + 2xy) – (4x + 8y)
= x(x + 2y) – 4(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 4).
c) x3 – x2 – x + 1
= (x3 – x2) – (x – 1)
= x2(x – 1) – (x – 1)
= (x – 1)(x2 – 1)
= (x – 1)(x + 1)(x – 1)
= (x – 1)2(x + 1).
Bài 7 trang 25 Toán 8 Tập 1: Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y2 + 28y + 4.
Lời giải:
Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a2.
Tức là 49y2 + 28y + 4 = a2.
Ta phân tích đa thức 49y2 + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a2.
49y2 + 28y + 4
= (7y)2 + 2.7y.2 + 22
= (7y + 2)2
Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y2 + 28y + 4 là 7y + 2.
Video bài giảng Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử – Chân trời sáng tạo
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 5: Phân thức đại số
Bài 6: Cộng, trừ phân thức
Bài 7: Nhân, chia phân thức