Giải SGK Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 59 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm. Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC điểm C’ sao cho AB’ = 2cm; AC’ = 3cm (h.8).

1) So sánh các tỉ số  $\frac{AB‘}{AB}$ và $\frac{AC‘}{AC}$?

2) Vẽ đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C”.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC”.

b) Có nhận xét gì về C’ và C” và về hai đường thẳng BC và B’C’ ?

Lời giải:

1) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{AB‘}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};\\ \frac{AC‘}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\end{array}$

Suy ra: $\frac{AB‘}{AB}=\frac{AC‘}{AC}$.

2)

a) Vì B’C” // BC nên theo định lí Ta – let ta có:

$\frac{AB‘}{AB}=\frac{AC‘‘}{AC}=\frac{1}{3}$

Suy ra: $A\text{}C‘‘=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}.9=3cm$

b) Trên đoạn thẳng AC ta có: AC’= AC’’= 3 cm nên hai điểm C’ và C” trùng nhau.

Khi đó, hai đường thẳng BC và B’C’ song song với nhau.

Câu hỏi 2 trang 60 Toán 8 Tập 2: Quan sát hình 9.

a) Trong hình đã cho có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau ?

b) Tứ giác BDEF là hình gì ?

c) So sánh các tỉ số  $\frac{AD}{AB};\frac{AE}{AC};\frac{DE}{BC}$ và cho nhận xét về mối liên hệ giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác ADE và ABC.

Lời giải:

a)

$\frac{AD}{\text{}BD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\frac{AE}{EC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$.

Nên theo định lí Ta – let đảo ta có: DE // BC.

Lại có:

$\frac{CF}{BF}=\frac{14}{7}=2\frac{CE}{EA}=\frac{10}{5}=2$

Do đó: $\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{EA}=2$

Nên theo định lí Ta- let đảo ta có: EF // AB.

b) Vì DE // BC nên DE // BF

Vì EF // AB nên EF // DB

Tứ giác BDEF là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song với nhau

c) Tứ giác BDEF là hình bình hành ⇒ DE = BF = 7

$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{3+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$;

$\frac{AE}{AC}=\frac{5}{5+10}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\frac{DE}{BC}=\frac{7}{7+\text{\hspace{0.17em}}14}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$

Suy ra: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.

Vậy ba cạnh của ΔADE tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của ΔABC

Câu hỏi 3 trang 62 Toán 8 Tập 2: Tính độ dài x của các đoạn thẳng trong hình 12.

Lời giải:

Áp dụng hệ quả định lí Ta – lét ta có:

– Hình a: $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$

Thay số:

$\frac{2}{2+3}=\frac{x}{6,5}\iff \frac{2}{5}=\frac{x}{6,5}\Rightarrow x=\frac{2.6,5}{5}=2,6$

– Hình b: Ta có: $\frac{MN}{PQ}=\frac{NO}{PO}$

Thay số:

$\frac{3}{5,2}=\frac{2}{x}\Rightarrow x=\frac{2.5,2}{3}=\frac{52}{15}\approx 3,467$

– Hình c:

Ta có: AB và CD cùng vuông góc với EF nên: AB // CD.

Do đó;

$\begin{array}{l}\frac{BE}{CF}=\frac{EO}{FO}\Rightarrow \frac{2}{3,5}=\frac{3}{x}\\ \Rightarrow x=\frac{3.3,5}{2}=5,25\end{array}$

Bài tập (trang 62; 63; 64; 65)

Bài 6 trang 62 Toán 8 Tập 2: Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.

Lời giải:

a) Xét hình 13a) : MN // AB.

Chứng minh:

Ta có: 

$\frac{MC}{AM}=\frac{15}{5}=3;\frac{NC}{BN}=\frac{21}{7}=3$

Suy ra: $\frac{MC}{AM}=\frac{NC}{BN}$

⇒ MN // AB (Theo định lý Ta-let đảo).

b) Xét hình 13b)

Ta có: $\widehat{B“A“O}=\widehat{OA‘B‘}$

⇒ A’B’ // A”B” (Hai góc so le trong bằng nhau).

Lại có:

 $\frac{OA‘}{A‘A}=\frac{2}{3};\frac{OB‘}{B‘B}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$

Suy ra:

$\frac{OA‘}{A‘A}=\frac{OB‘}{B‘B}\Rightarrow A‘B//AB$.

Vậy AB// A’B’ // A”B”.

Bài 7 trang 62 Toán 8 Tập 2: Tính các độ dài x, y trong hình 14.

Lời giải:

+ Hình 14a)

Ta có: MN // EF

⇒ $\frac{DM}{DE}=\frac{MN}{EF}$  (Hệ quả định lý Ta-let)

Mà DM = 9,5 ; DE = DM + ME = 9,5 + 28 = 37,5 ; MN = 8 ; EF = x

Thay số:

 $\frac{9,5}{37,5}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{8}{x}\Rightarrow x=\frac{37,5.8}{9,5}=\frac{600}{19}\text{}$

+ Hình 14b)

Ta có: A’B’ ⊥ AA’; AB ⊥ AA’ ⇒ A’B’ // AB

⇒ $\frac{A‘B‘}{AB}=\frac{OA‘}{OA}$  (Hệ quả định lý Ta-let)

Mà OA’ = 3 ; OA = 6 ; A’B’ = 4,2 ; AB = x

Thay số:

 $\frac{4,2}{x}=\frac{3}{6}\Rightarrow x=\frac{4,2.6}{3}=8,4$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại A ta có:

OA² + AB² = OB²

Mà OA = 6; AB = x = 8,4 nên

OB²  = 6² + 8,4² = 106, 56.

Do đó, $OB\text{\hspace{0.17em}}=\sqrt{106,56}$.

Bài 8 trang 63 Toán 8 Tập 2: a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.

Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau?

b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bẳng nhau?

Lời giải:

a) – Mô tả cách làm:

+ Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị.

+ E, F nằm trên PQ sao cho PE = EF = FQ = 1. Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và QA

+ Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D.

Khi đó ta được AC = CD = DB.

– Chứng minh AC = CD = DB:

Theo hệ quả định lý Ta-let ta có:

ΔOAC có FQ // AC (F ∈ OC, Q ∈ OA)

⇒ $\frac{AC}{FQ}=\frac{OA}{OQ}=\frac{OC}{OF}$  (1)

ΔOCD có EF // CD (E ∈ OD, F ∈ OC)

⇒ $\frac{CD}{EF}=\frac{OC}{OF}=\frac{OD}{OE}$ (2)

ΔODB có PE // BD (P ∈ OB, E ∈ OD)

⇒ $\frac{BD}{PE}=\frac{OD}{OE}=\frac{OB}{OP}$ (3)

Từ (1); (2); (3) đẳng thức trên suy ra 

$\frac{AC}{FQ}=\frac{CD}{EF}=\frac{BD}{PE}$.

Mà FQ = EF = PE ⇒ AC = CD = DB (đpcm).

b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau

Ngoài cách trên, ta có thể chia một đoạn thẳng thành 5 đoạn bằng nhau bằng cách vẽ thêm một đoạn thẳng AC bằng 5 đơn vị, chia đoạn thẳng AC thành 5 đoạn thẳng bằng nhau, mỗi đoạn bằng 1 đơn vị: AD = DE = EF = FG = GC.

Từ các điểm D, E, F, G ta kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt AB tại H, I, J, K. Khi đó ta thu được các đoạn thẳng AH = HI = IJ = JK = KB.

Bài 9 trang 63 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.

Lời giải:

Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ D và B đến cạnh AC.

Ta có AB = AD + DB

⇒ AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm)

Vì DH // BK (cùng vuông góc với AC) nên áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có:

$\frac{DH}{BK}=\frac{AD}{AB}=\frac{13,5}{18}=\frac{3}{4}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ D và B đến cạnh AC là $\frac{3}{4}$.

Bài 10 trang 63 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B’, C’ và H’ (h.16).

a) Chứng minh rằng: $\frac{AH‘}{AH}=\frac{B‘C‘}{BC}$ .

b) Áp dụng: Cho biết  $AH‘=\frac{1}{3}AH$ và diện tích tam giác ABC là 67,5 cm². Tính diện tích tam giác AB’C’.

Lời giải:

a) Xét ΔABC có B’C’ // BC (B’ ∈ AB; C’ ∈ AC)

⇒ $\frac{B‘C‘}{BC}=\frac{AC‘}{AC}$  (hệ quả của định lý Ta – let) (1)

Xét ΔAHC có H’C’ // HC (H’ ∈ AH, C’ ∈ AC)

⇒ $\frac{AH‘}{AH}=\frac{AC‘}{AC}$   (định lý Ta – lét)(2)

Từ (1); (2) suy ra: 

$\frac{AH‘}{AH}=\frac{B‘C‘}{BC}$

b) Vì $AH‘=\frac{1}{3}AH\Rightarrow \frac{AH‘}{AH}=\frac{1}{3}$.

Mà theo a)  $\frac{AH‘}{AH}=\frac{B‘C‘}{BC}$

 nên $\frac{B‘C‘}{BC}=\frac{1}{3}$

Ta có: 

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC;S_{AB‘C‘}=\frac{1}{2}AH‘.B‘C‘\Rightarrow \frac{S_{AB‘C‘}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH‘.B‘C‘}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AH‘}{AH}.\frac{B‘C‘}{BC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow S_{AB‘C‘}=\frac{1}{9}.S_{ABC}=\frac{1}{9}.67,5=7,5c{m}^2$

Bài 11 trang 63 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (h.17).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm².

Hình 17

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả định lý Ta-let ta có:

ΔABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC)

⇒  $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}$  (1)

ΔAHC có KN // HC (K ∈ AH, N ∈ AC)

⇒ $\frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AH}$

Mà ta có: AK = KI = IH nên

$\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}$(do AH = AK + KI + IH)

$\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{BC}{3}=\frac{15}{3}=5cm$

Và 

$\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BC=10cm$

Vậy MN = 5cm; EF = 10cm.

b) Ta có:

$S_{AMN}=\frac{1}{2}MN.AK;S_{AEF}=\frac{1}{2}EF.AI;S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}MN.AK}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{MN}{BC}.\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{9}{S}_{ABC}\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}EF.AI}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{EF}{BC}.\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\Rightarrow S_{AEF}=\frac{4}{9}{S}_{ABC}\Rightarrow S_{MNFE}=S_{AEF}-S_{AMN}=\frac{4}{9}{S}_{ABC}-\frac{1}{9}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}.270=90c{m}^2$

Bài 12 trang 64 Toán 8 Tập 2: Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không?

Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia. Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB = x theo BC = a, B’C’ = a’; BB’ = h.

Lời giải:

+ Mô tả cách làm:

– Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia (chẳng hạn như là một thân cây), đặt hai điểm B và B’ thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại và AB chính là khoảng cách cần đo.

– Trên hai đường thẳng vuông góc với AB’ tại B và B’ lấy C và C’ thằng hàng với A.

– Đo độ dài các đoạn BB’ = h, BC = a, B’C’ = a’ ta sẽ tính được đoạn AB.

+ Cách tính AB.

Ta có: BC ⊥ AB’ và B’C’ ⊥ AB’ ⇒ BC // B’C’

ΔAB’C’ có BC // B’C’ (B ∈ AB’, C ∈ AC’)

⇒  $\frac{AB}{AB‘}=\frac{BC}{B‘C‘}$ (hệ quả định lý Ta – let)

Thay số:

 $\frac{x}{h+x}=\frac{a}{a‘}\Rightarrow \frac{h+\text{}x}{x}=\frac{a‘}{a}$

Suy ra:

$\frac{h}{x}+1=\frac{a‘}{a}\Rightarrow \frac{h}{x}=\frac{a‘}{a}-1=\frac{a‘-a}{a}$

$\Rightarrow x=\frac{ah}{a‘-a}$q

Bài 13 trang 64 Toán 8 Tập 2: Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không?

Hình 19 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm: Hai cọc thẳng đứng (cọc 1 cố định; cọc 2 có thể di động được) và sợi dây FC. Cọc 1 có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.

a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào.

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.

Lời giải:

a) Cách tiến hành:

– Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A, F, K nằm trên đường thẳng.

– Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm C trên mặt đất (3 điểm F, K, C thẳng hàng).

Sử dụng định lý Ta – let để tính AB. 

b) ΔABC có AB // KD (D ∈ BC, K ∈ AC)

$\Rightarrow \frac{KD}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow AB=\frac{KD.BC}{CD}=\frac{ha}{b}$

Vậy chiều cao bức tường là  $\frac{ha}{b}$.

Bài 14 trang 64-65 Toán 8 Tập 2: Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo).

Dựng đoạn thẳng có độ dài x sao cho:

a) $\frac{x}{m}=2$;

b) $\frac{x}{n}=\frac{2}{3}$;

c) $\frac{m}{x}=\frac{n}{p}$.

Hướng dẫn:

Câu b) – Vẽ hai tia Ox, Oy.

– Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.

– Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n và xác định điểm A’ sao cho $\frac{OA}{OB}=\frac{OA‘}{OB‘}$ .

– Từ đó ta có OA’ = x.

Lời giải:

a)

– Cách dựng:

+ Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.

+ Trên tia Ox lấy A và B sao cho OA = 1 đơn vị, OB = 2 đơn vị.

+ Trên tia Oy lấy điểm M sao cho OM = m.

+ Vẽ đường thẳng qua B và song song với MA cắt Oy tại C.

Khi đó đoạn thẳng OC chính là đoạn thẳng cần dựng.

– Chứng minh:

Ta có: AM // BC nên theo định lí Ta – let:

 $\frac{OM}{OC}=\frac{OA}{OB}$

Mà  $\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{1}{2}$

Hay $\frac{m}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{x}{m}=2$.

b)

– Cách dựng:

+ Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.

+ Trên tia Ox lấy A và B sao cho OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị

+ Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON = n.

+ Vẽ đường thẳng qua A và song song với NB cắt Oy tại D.

Khi đó đoạn thẳng OD chính là đoạn thẳng cần dựng.

– Chứng minh:

Ta có: AD // BN nên theo định lí Ta – let ta có:

$\frac{OD}{ON}=\frac{OA}{OB}$.

Mà

$\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{OD}{ON}=\frac{2}{3}hay\frac{x}{n}=\frac{2}{3}$.

c)

– Cách dựng:

+ Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.

+ Trên tia Ox lấy A và B sao cho OA = n đơn vị, OB = p đơn vị

+ Trên tia Oy lấy điểm M sao cho OM = m

+ Vẽ đường thẳng qua B và song song với MA cắt Oy tại E

Khi đó đoạn thẳng OE chính là đoạn thẳng cần dựng.

– Chứng minh:

Ta có: AM// BE nên theo định lí Ta – let ta có: $\frac{OA}{OB}=\frac{OM}{OE}$

Hay $\frac{n}{p}=\frac{m}{x}$ .