Giải SGK Toán 8 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 116 Toán 8 Tập 1: Xét các hình A, B, C, D, E vẽ trên lưới kẻ ô vuông (h.121), mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích.

a) Kiểm tra xem có phải diện tích hình A là diện tích 9 ô vuông, diện tích hình B cũng là diện tích 9 ô vuông hay không?

Ta nói: Diện tích hình A bằng diện tích hình B.

b) Vì sao ta nói: Diện tích hình D gấp bốn lần diện tích hình C?

c) So sánh diện tích hình C với diện tích hình E.

Lời giải

a) Diện tích hình A là 9 ô vuông.

Diện tích hình B cũng có 9 ô vuông.

Vậy diện tích hình A bằng diện tích hình B đều bằng 9 ô vuông.

b) Diện tích hình D là 8 ô vuông

Diện tích hình C là 2 ô vuông

Ta có 8 : 2 = 4

⇒ Diện tích hình D gấp 4 lần diện tích hình C

c) Diện tích hình E là 8 ô vuông

Diện tích hình C là 2 ô vuông

Ta có 8 : 2 = 4

⇒ Diện tích hình E gấp 4 lần diện tích hình C.

Câu hỏi 2 trang 117 Toán 8 Tập 1: Từ công thức tính diện tích hình chữ nhật hãy suy ra công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông.

Lời giải

– Vì hình vuông là hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng nên diện tích hình vuông cạnh a: S = a.a = a².

– Diện tích hình chữ nhật ABCD là: a.b

Diện tích tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông a và b bằng một nửa diện tích hình chữ nhật ABCD bằng: $\frac{1}{2}a.b$

Câu hỏi 3 trang 118 Toán 8 Tập 1:Ba tính chất của diện tích đa giác đã được vận dụng như thế nào khi chứng minh công thức tính diện tích tam giác vuông?

Lời giải

Muốn tính diện tích tam giác vuông ABC, ta dựng hình chữ nhật ABDC như trên

Xét ∆ABC và ∆DCB, có:

AB = DC (ABDC là hình chữ nhật)

$\widehat{BAC}=\widehat{CDB}={90}^0$

AC = BD (ABDC là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DCB$ (hai cạnh góc vuông)

⇒S_ABC = S_DCB (theo tính chất 1 diện tích đa giác) (1)

Đường chéo BC chia hình chữ nhật ABDC thành 2 phần là ∆ABC và ∆DCB

⇒S_ABDC = S_ABC + S_DCB (theo tính chất 2 diện tích đa giác) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ S_ABDC = 2S_ABC 

⇒ S_ABC =  $\frac{1}{2}$S_ABDC

– ABDC là hình chữ nhật ⇒ S_ABDC = a.b

⇒ S_ABC =  $\frac{1}{2}$S_ABDC = $\frac{1}{2}$ab

Bài tập (trang 118, 119)

Bài 6 trang 118 Toán 8 Tập 1: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu:

a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi?

b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần?

c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần?

Lời giải:

Giả sử hình chữ nhật ban đầu có chiều dài là a, chiều rộng là b

⇒ Diện tích: S = a.b

a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi

⇒ a’ = 2a, b’ = b

⇒ S’ = a’.b’ = 2a.b = 2ab = 2.S

⇒ Diện tích tăng 2 lần.

Vậy diện tích hình chữ nhật tăng 2 lần.

b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần

⇒ a’ = 3a; b’ = 3b

⇒ S’ = a’.b’ = 3a.3b = 9ab = 9S

⇒ Diện tích tăng 9 lần

Vậy diện tích hình chữ nhật tăng 9 lần.

c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần

⇒ a’ = 4a; b’ = $\frac{b}{4}$.

⇒ S’ = a’.b’ = 4a.$\frac{b}{4}$ = ab = S

⇒ Diện tích không đổi.

Vậy diện tích hình không đổi.

Bài 7 trang 118 Toán 8 Tập 1:Một gian phòng có nền hình chữ nhật với kích thước là 4,2m và 5,4m, có một cửa sổ hình chữ nhật kích thước là 1m và 1,6m và một cửa ra vào hình chữ nhật kích thước 1,2m và 2m.

Ta coi một gian phòng đạt mức chuẩn về ánh sáng nếu diện tích các cửa bằng 20% diện tích nền nhà. Hỏi gian phòng trên có đạt mức chuẩn về ánh sang hay không?

Lời giải:

Diện tích nền nhà: S = 4,2.5,4 = 22,68 (m²)

Diện tích cửa sổ: S₁ = 1.1,6 = 1,6 (m²)

Diện tích cửa ra vào: S₂ = 1,2.2 = 2,4 (m²)

Diện tích các cửa: S’ = S₁ + S₂ = 1,6 + 2,4 = 4 (m²)

Ta có: $\frac{S‘}{S}=\frac{4}{22,68}=17,64\%<20\%$

Vậy gian phòng không đạt mức chuẩn về ánh sáng.

Bài 8 trang 118 Toán 8 Tập 1:Đo cạnh (đơn vị mm) rồi tính diện tích tam giác vuông dưới đây (h.122)

Lời giải:

Đo hai cạnh góc vuông, ta được AB = 30mm, AC = 25mm.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông, ta được:

$S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.30.25}=375$ (mm²)

Vậy S = 375 mm²

Bài 9 trang 119 Toán 8 Tập 1:ABCD là một hình vuông cạnh 12 cm, AE = x cm (h123). Tính x sao cho diện tích tam giác ABE bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông ABCD.

Lời giải:

Diện tích tam giác vuông ABE là:

$S‘=\frac{1}{2}AE.AB=\frac{1}{2}.x.12=6x\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình vuông là S = 12.12 = 144 cm²

Theo đề bài ta có:

$S‘=\frac{1}{3}S=\frac{1}{3}.144=48\iff 6x=48\iff x=48:6=8cm.$

Vậy x = 8 cm.

Bài 10 trang 119 Toán 8 Tập 1: Cho một tam giác vuông. Hãy so sánh tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông với diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.

Gợi ý: Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải:

Giả sử tam giác vuông ABC có cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b, c.

Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền a là a²

Diện tích các hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông b, c lần lượt là b², c².

Tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông b, c là b² + c².

Theo định lí Pitago, tam giác ABC có: a² = b² + c²

Vậy: Trong một tam giác vuông, tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích vuông dựng trên cạnh huyền.

Bài 11 trang 119 Toán 8 Tập 1:Cắt hai tam giác vuông bằng nhau từ một tấm bìa. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo thành:

a) Một tam giác cân

b) Một hình chữ nhật

c) Một hình bình hành

Diện tích của các hình này có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Ta ghép như sau:

Diện tích 3 hình này đều bằng nhau vì cùng bằng tổng diện tích của hai tam giác vuông ban đầu.

Bài 12 trang 119 Toán 8 Tập 1:Tính diện tích các hình dưới đây (h.124) (Mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích).

Lời giải:

Theo đề bài: mỗi ô vuông là 1 đơn vị diện tích nên mỗi cạnh của ô vuông sẽ có độ dài là 1 (đơn vị)

– Hình thứ nhất là một hình chữ nhật có chiều dài là 3, chiều rộng là 2:

Diện tích hình chữ nhật là: 2.3 = 6 (đơn vị diện tích).

– Hình thứ hai là hình bình hành, đặt tên hình là ABCD, kẻ AH, CK như hình vẽ:

Khi đó diện tích hình bình hành ABCD bằng tổng diện tích hình vuông AHCK với diện tích tam giác AHD và diện tích tam giác CKB

S_ABCD = S_AHD + S_AHD + S_CKB

Diện tích hình vuông AHCK có cạnh 3 là: 3² = 9 (đơn vị diện tích)

Diện tích tam giác ADH bằng diện tích tam giác CKB bằng $\frac{1}{2}\mathrm{.1.2}=1$ (đơn vị diện tích)

Diện tích hình bình hành ABCD là: 9 + 1 + 1 = 11 (đơn vị diện tích)

– Hình thứ ba là một hình bình hành:

Ta đặt hình bình hành đã cho là ABCD có đường chéo AC. Khi đó diện tích hình bình hành ABCD bằng diện tích tam giác ABC cộng với diện tích tam giác ADC.

Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác ADC bằng: $\frac{1}{2}\mathrm{.3.2}=3$ (đơn vị diện tích).

Diện tích hình bình hành ABCD là: 3 + 3 = 6 (đơn vị diện tích).

Bài 13 trang 119 Toán 8 Tập 1: Cho hình 125 trong đó ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC, FG // AD và HK // AB. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.

Lời giải:

Ta có: S_EHDG = S_ADC – S_AHE – S_EGC.

S_EFBK = S_ABC – S_AFE – S_EKC.

Để chứng minh S_EHDG = S_EFBK ta chứng minh S_ADC = S_ABC; S_AHE = S_AFE ; S_EGC = S_EKC.

+ Chứng minh S_ADC = S_ABC.

S_ADC = $\frac{1}{2}AD.DC$;

S_ABC = $\frac{1}{2}AB.BC$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AD = BC

⇒ S_ADC = S_ABC.

+ Chứng minh S_AHE = S_AFE (1)

Ta có: EH // AF và EF // AH

⇒ AHEF là hình bình hành

Mà Â = 90º

⇒ AHEF là hình chữ nhật

⇒ S_AHE = S_AFE (2)

+ Chứng minh S_EGC = S_EKC

EK // GC, EG // KC

⇒ EGCK là hình bình hành

Mà D̂ = 90º

⇒ EGCK là hình chữ nhật

⇒ S_EGC = S_EKC (3).

Từ (1); (2); (3) suy ra đpcm.

Bài 14 trang 119 Toán 8 Tập 1:Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m. Hãy tính diện tích đám đất đó theo đơn vị m², km², a, ha.

Lời giải:

Diện tích đám đất theo đơn vị m² là:

S = 700.400 = 280 000 (m²)

Ta có: 1km² = 1 000 000 m²

1a = 100 m²

1ha = 10 000 m²

Nên diện tích đám đất tính theo các đơn vị trên là:

S = 0,28 km² = 2800 a = 28 ha.

Bài 15 trang 119 Toán 8 Tập 1: Đố. Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm.

a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?

b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất?

Lời giải:

a) Hình chữ nhật ABCD đã cho có diện tích là

S_ACBD = 3.5 = 15 (cm²)

Hình chữ nhật có kích thước là 1cm x 12cm có diện tích là 12cm² và chu vi là

(1 + 12).2 = 26 (cm)

(có 26 > 15)

Hình chữ nhật kích thước 2cm x 7cm có diện tích là 14cm² và chu vi là

(2 + 7).2 = 18 (cm)

(có 18 > 15).

Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD cho trước.

b) + Chu vi hình chữ nhật ABCD đã cho là

(5 + 3).2 = 16 cm

Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD là:

16 : 4 = 4 cm

Diện tích hình vuông này là

4.4 = 16 cm²

(Ở trên hình là ví dụ hình vuông MNPQ có cạnh là 4cm)

Vậy diện tích hình chữ nhật bé hơn diện tích hình vuông.

+ Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Gọi cạnh của hình chữ nhật có độ dài lần lượt là a, b.

Hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật nên cạnh hình vuông là $\frac{a+b}{2}$.

Do a, b là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương a, b ta được:

$\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge 2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=\sqrt{ab}$

$\Rightarrow ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2.$

Vậy hình vuông có diện tích lớn nhất.