Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Tài liệu gồm có:
I. Lý thuyết
II. Bài tập
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. Lí thuyết:
1. Bình phương của một tổng:
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
2. Bình phương của một hiệu:
\({\left( {A – B} \right)^2} = {A^2} – 2AB + {B^2}\)
3. Hiệu hai bình phương:
\({A^2} – {B^2} = \left( {A – B} \right)\left( {A + B} \right)\)
4. Lập phương của một tổng:
\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
5. Lập phương của một hiệu:
\({\left( {A – B} \right)^3} = {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)
6. Tổng hai lập phương:
\({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} – AB + {B^2}} \right)\)
7. Hiệu hai lập phương:
\({A^3} – {B^3} = \left( {A – B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ngoài ra, ta có cách hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, …
1. Tổng hai bình phương:
\({A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} – 2AB\)
2. Tổng hai lập phương:
\({A^3} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3} – 3AB\left( {A + B} \right)\)
3. Bình phương của tổ 3 số hạng:
\({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2\left( {AB + BC + CA} \right)\)
4. Lập phương của tổng 3 số hạng:
\({\left( {A + B + C} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + {C^3} + 3\left( {A + B} \right)\left( {B + C} \right)\left( {C + A} \right)\)
B. Các dạng bài tập minh hoạ cơ bản:
Dạng 1: Biến đổi biểu thức
Phương pháp:
Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) \({\left( { – 3x + 2y} \right)^2}\)
b) \({\left( { – x – xy} \right)^2}\)
c) \({x^2} – 4{y^2}\)
d) \({\left( {x + y} \right)^2} – {\left( {2 – y} \right)^2}\)
Giải
a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( { – 3x + 2y} \right)^2} = {\left( { – 3x} \right)^2} + 2\left( { – 3x} \right)\left( {2y} \right) + {\left( {2y} \right)^2}\\ = 9{x^2} – 12xy + 4{y^2}\end{array}\)
b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( { – x – xy} \right)^2} = {\left( { – x} \right)^2} – 2\left( { – x} \right)\left( {xy} \right) + {\left( {xy} \right)^2}\\ = {x^2} + 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\end{array}\)
c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\({x^2} – 4{y^2} = {x^2} – {\left( {2y} \right)^2} = \left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\)
d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} – {\left( {2 – y} \right)^2}\\ = \left( {\left( {x + y} \right) – \left( {2 – y} \right)} \right)\left( {\left( {x + y} \right) + \left( {2 – y} \right)} \right)\end{array}\)
\( = \left( {x + 2y – 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right) – \left( { – x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)
b) \(2{x^2} – 6{x^2} + 6x – 2\)
c) \({x^3} + 6{x^2} + 12x + 8\)
d) \({\left( {x + y} \right)^3} – {\left( {x – 2y} \right)^3}\)
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:
\(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right) – \left( { – x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)
\[\begin{array}{l} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {x^3} – {y^3} = 2{x^3}\end{array}\]
b) Ta có: \(2{x^2} – 6{x^2} + 6x – 2 = 2\left( {{x^3} – 3{x^2} + 3x – 1} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức ta được:
\(2\left( {{x^3} – 3{x^2} + 3x – 1} \right) = 2{\left( {x – 1} \right)^3}\)
c) Ta có: \({x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = {x^3} + 3.2{x^2} + {3.2^2}.x + {2^3}\)
Áp dụng bất đẳng thức ta được:
\({x^3} + 3.2.{x^2} + {3.2^2}.x + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3}\)
d) Áp dụng bất đẳng thức ta được: \({\left( {x + y} \right)^3} – {\left( {x – 2y} \right)^3}\)
\( = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) – \left( {{x^3} – 3.{x^2}2y + 3.x.{{\left( {2y} \right)}^2} – {{\left( {2y} \right)}^3}} \right)\)
\( = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} – {x^3} + 6{x^2}y – 12x{y^2} + 8{y^3}\)
\( = 9{x^2}y – 9x{y^2} + 9{y^3}\)
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) \((a – b + c + d)\left( {a – b – c – d} \right)\)
b) \(\left( {x + 2y + 3z} \right)\left( {x – 2y + 3z} \right)\)
c) \(\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)
d) \({\left( {x + y} \right)^3} – {\left( {x – y} \right)^3}\)
e) \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} – 2\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {3x – 1} \right)\)
Giải
a) \((a – b + c + d)\left( {a – b – c – d} \right)\)
\(\begin{array}{l} = [\left( {a – b} \right) + \left( {c + d} \right)].[\left( {a – b} \right) – \left( {c + d} \right)]\\ = {\left( {a – b} \right)^2} – {\left( {c + d} \right)^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = {a^2} – 2ab + {b^2} – {c^2} – 2cd – {d^2}\\ = {a^2} + {b^2} – {c^2} – {d^2} – 2ab – 2cd\end{array}\)
b) \(\left( {x + 2y + 3z} \right)\left( {x – 2y + 3z} \right)\)
=\(\left[ {\left( {x + 3z} \right) + 2y} \right].\left[ {\left( {x + 3z} \right) – 2y} \right]\)
=\({\left( {x + 2z} \right)^2} – {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} + 6xz + 9{z^2} – 4{y^2}\)
c)
\(\begin{array}{l}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\ = \left( {{x^3} – 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right) = {x^6} – 1\end{array}\)
d) \({\left( {x + y} \right)^3} – {\left( {x – y} \right)^3}\)
\( = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) – \left( {{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}} \right)\)
\( = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} – {x^3} + 3{x^2}y – 3x{y^2} + {y^3}\)
\( = 6{x^2}y + 2{y^3} = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right)\)
e) \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} – 2\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {3x – 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) – \left( {3x – 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {{x^2} + 3x + 1 – 3x + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^2}\end{array}\)
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:
– Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị.
– Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.
– Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.
Bài 1: Cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức sau: \(A = {x^3} + 3xy + {y^3}\)
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:
\(A = {x^3} + {y^3} + 3xy = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right)3xy\)
=\(\left( {x + y} \right)\left( {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right) + 3xy\)
Theo bài ra x + y =1, thay vào A ta được:
\(\begin{array}{l}A = \left( {x + y} \right)\left( {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right) + 3xy\\ = 1.\left( {{1^2} – 3xy} \right) + 3xy = 1 – 3xy + 3xy = 1\end{array}\)
Vậy A = 1.
Bài 2: Cho x – y = 4 và xy = 5. Tính \(B = {x^3} – {y^3} + {\left( {x – y} \right)^2}\)
Giải.
Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:
\(\begin{array}{l}B = {x^3} – {y^3} + {\left( {x – y} \right)^2}\\ = \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + {\left( {x – y} \right)^2}\end{array}\)
\( = \left( {x – y} \right)\left( {{{\left( {x – y} \right)}^2} + 3xy} \right) + {\left( {x – y} \right)^2}\)
Theo bài x – y = 4, xy = 5 thay vào B ta được:
\(\begin{array}{l}B = \left( {x – y} \right)\left( {{{\left( {x – y} \right)}^2} + 3xy} \right) + {\left( {x – y} \right)^2}\\ = 4\left( {{4^2} + 3.5} \right) + 16 = 140\end{array}\)
Vậy B = 140
Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
a) \(9{x^2} – 48x + 64 – 5{x^3}\) tại x = 2
b) \({x^3} – 9{x^2} + 27x – 27\) tại x = -4
c) \(\frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 1}}\) tại x = 6
d) \(\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{{x^3} – 1}} + \frac{{{x^2} – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\) tại x = 3
Giải
a) Ta có: \(9{x^2} – 48x + 64 – 5{x^3} = {\left( {3x – 8} \right)^2} – 5{x^3}\)
Thay x = 2 và ta được: \({\left( {3.2 – 8} \right)^2} – {5.2^2} = – 36\)
b) Ta có: \({x^3} – 9{x^2} + 27x – 27 = {\left( {x – 3} \right)^3}\)
Thay x = -4 vào ta được: \({\left( {x – 3} \right)^3} = {\left( { – 4 – 3} \right)^3} = – {7^3} = 343\)
c) Ta có: \(\frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)
Thay x = 6 vào ta được: \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{6^2} + 6 + 1}}{{6 + 1}} = \frac{{43}}{7}\)
d) Ta có: \(\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{{x^3} – 1}} + \frac{{{x^2} – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\end{array}\)
Thay x = 3 vào ta được: \(\frac{{3 – 1}}{{{3^2} + 3 + 1}} + \frac{{3 + 1}}{{3 – 1}} = \frac{2}{{13}} + 2 = \frac{{28}}{{13}}\)
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng: \(m – {Q^2}\left( x \right) \le m\) (với m là hằng số) => GTLN của A(x) = m.
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng \({Q^2}\left( x \right) + n \ge n\) (với n là hằng số) => GTNN của A(x) = n.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) \(A = – {x^2} – 2x + 5\)
b) \(B = 9x – 3{x^2} + 4\)
Giải
a) Ta có
\(\begin{array}{l}A = – {x^2} – 2x + 5 = – {x^2} – 2x – 1 + 6\\ = 6 – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 6\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = -1
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}B = 9x – 3{x^2} + 4 = 3\left( { – \frac{9}{4} + 2.\frac{3}{2}x – {x^2}} \right) + \frac{{27}}{4} + 4\\ = \frac{{43}}{4} – 3{\left( {\frac{3}{2} – x} \right)^2} \le \frac{{43}}{4}\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \(\frac{{43}}{4}\)khi \(\frac{3}{2} – x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) \(A = 8{x^2} – 8x + 14\)
b) \(B = {x^2} + x + 2\)
Giải
a) Ta có: \(A = 8{x^2} – 8x + 14 = 2\left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) + 12\)
\( = 2{\left( {2x – 1} \right)^2} + 12 \ge 12\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi \(2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}B = {x^2} + x + 2\\ = {x^2} + 2.\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} – \frac{1}{4} + 2\\ = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là \(\frac{7}{4}\) khi \(x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}\).
Xem thêm