50 Bài tập Đối xứng trục (có đáp án)- Toán 8

Bài tập Toán 8 Chương 1 Bài 6: Đối xứng trục

A. Bài tập Đối xứng trục

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau

A. Đường thẳng đi qua hai đáy của hình thang là trục đối xứng của hình thang đó.

B. Đương thẳng đi qua hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.

C. Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang đó.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài là 3cm và đường thẳng d, đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d, khi đó độ dài của A’B’ là ?

A. 3cm   

B. 6cm

C. 9cm   

D. 12cm

Lời giải:

Tính chất: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

Khi đó AB = A’B’ = 3cm

Chọn đáp án A.

Bài 3: Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua đường thẳng d, biết chu vi của tam giác ABC là 48cm thì chu vi của tam giác A’B’C’ là ?

A. 24cm   

B. 32cm

C. 40cm   

D. 48cm

Lời giải:

Tính chất: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

Khi đó ta có: P_ABC = P_A’B’C’ = 48( cm )

Chọn đáp án D.

Bài 4: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng:

A. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là A.

B. Điểm đối xứng với K qua đường thẳng d là K

C. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K

D. Điểm đối xứng với Q qua đường thẳng d là Q.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AK nên điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K.

Đáp án cần chọn là: C

Bài 5: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu sai.

A. Điểm đói xứng với P qua đường thẳng QG là P’.

B. Điểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’.

C. Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là G.

D. Điểm đối xứng với G qua đường thẳng QG là G

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có đường thẳng QG là đường trung trực của đoạn thẳng DD’, BB’, PP’ nên

Điểm đối xứng với P qua đường thẳng QG là P’ nên B đúng.

ĐIểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’ nên B đúng.

Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là D’ nên C sai.

Vì G Є QG nên điểm đối xứng với G qua QG là G nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Bài 6: Hãy chọn câu sai.

A. Hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m.

B. Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m.

C. Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m

D. Hai đoạn thẳng DE và D’B’ đối xứng nhau qua m.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có A và A’ đối xứng nhau qua đường thẳng m; B và B’ đối xứng nhau qua đường thẳng m; C và C’ đối xứng nhau qua đường thẳng m.

Suy ra hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m.

Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m.

Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m.

Hai đoạn thẳng DE và D’E’ đối xứng nhau qua m nên D sai.

Đáp án cần chọn là: D

Bài 7: Cho hình vẽ, AD = AE, AG là trung trực của DE. Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục AG (các đoạn thẳng thuộc đường thẳng AD, AE)? Chọn câu đúng.

A. 1            

B. 2            

C. 3            

D. 4

Lời giải:

Từ giả thiết ta thấy ΔADE cân tại A có AG là đường cao nên AG cũng là đường trung trực của DE.

Nên điểm D và E đối xứng nhau qua AG.

Lại có BC // DE (cùng vuông với AG) nên suy ra  (định lý Ta-lét)

Mà  AD = AE (gt) ⇒ AB = AC

Do đó ΔABC cân tại A có AF là đường cao nên AF cũng là đường trung trực của BC.

Từ đó điểm B, C đối xứng nhau qua AG.

Như vậy:
+ Hai đoạn thẳng BD, CE đối xứng nhau qua AG.

+ Hai đoạn thẳng AB, AC đối xứng nhau qua AG

+ Hai đoạn thẳng AD, AE đối xứng nhau qua AG

Đáp án cần chọn là: C

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 3cm và đường thẳng d. Đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d. Độ dài đoạn thẳng A’B’ là:

A. 3cm       

B. 6cm       

D. 9cm       

D. 12cm

Lời giải:

Vì đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d nên A’B’ = AB = 3cm.

Đáp án cần chọn là: A

Bài 9: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 6cm và đường thẳng d. Đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d. Độ dài đoạn thẳng A’B’ là:

A. 3cm       

B. 6cm       

D. 9cm       

D. 12cm

Lời giải:

Vì đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d nên A’B’ = AB = 6cm.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 10: Cho ΔABC và ΔA’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d biết AB = 4cm, BC = 7cm và chu vi của tam giác ABC = 17cm. Khi đó độ dài cạnh C’A’ của tam giác A’B’C’ là:

A. 17cm     

B. 6cm       

C. 7cm       

D. 4cm

Lời giải:

+ Xét tam giác ABC có chu vi P_ABC = AB + AC + BC ⇒ P_ABC = 6cm.

+ Vì tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d nên AC = A’C’ = 6cm

Đáp án cần chọn là: B

Bài 11: Cho ΔABC và ΔA’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d biết AB = 8cm, BC = 11cm và chu vi của tam giác ABC = 30 cm. Khi đó độ dài cạnh C’A’ của tam giác A’B’C’ là:

A. 16cm     

B. 15cm     

C. 8cm       

D. 11cm

Lời giải:

+ Xét tam giác ABC có chu vi P_ABC = AB + AC + BC ⇒ P_ABC = 11cm.

+ Vì tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đối xứng nhau qua đường thẳng d nên AC = A’C’ = 11cm

Đáp án cần chọn là: D

Bài 12: Cho hai điểm A, B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng nhất.

A. M là giao điểm của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng d.

B. M là giao điểm của đoạn AB’ và đường thẳng d.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d. B’ cố định.

Ta có: MB = MB’ (tính chất đối xứng trục).

Xét ba điểm M, A, B’ ta có MA + MB’ ≥ AB’

Do đó MA + MB ≥ AB’

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, M, B thẳng hang theo thứ tự đó hay M là giao điểm của đoạn AB’ và đường thẳng d.

Vậy khi M ≡ M’ là giao điểm của đoạn thẳng AB’ và đường thẳng d thì tổng MA + MB nhỏ nhất, trong đó B’ là điểm đối xứng của B qua d.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 13: Trên tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC, lấy điểm M (M khác C). Chọn câu đúng.

A. MA + MB = AC + BC        

B. MA + MB > AC + BC

C. MA + MB < AC + BC         

D. Chưa đủ điều kiện để so sánh

Lời giải:

Trên tia đối của tia CB lấy điểm A’ sao cho CA = CA’

Khi đó ta có: ΔCAA’ cân tại A có CM là phân giác góc ACA’ nên CM cũng là đường trung trực của AA’.

Từ đó ta có: MA = MA’

Nên MA + MB = MA’ + MB

Xét tam giác MA’B có MA’ +MB > A’B ⇔ MA + MB > A’C + BC

Hay MA + MB > AC + BC (vì CA = CA’)

Đáp án cần chọn là: B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho đường thẳng d và một điểm A không thuộc d. Hãy vẽ điểm A’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Lời giải

Bài 2 Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB (h.51).

– Vẽ điểm A’ đối xứng với A qua d.

– Vẽ điểm B’ đối xứng với B qua d.

– Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua d.

Lời giải

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (h.55). Tìm hình đối xứng với mỗi cạnh của tam giác ABC qua AH.

Lời giải

AB đối xứng với AC qua AH BC đối xứng với CB qua AH

Bài 4 Mỗi hình sau có bao nhiêu trục đối xứng?

a) Chữ cái in hoa A (h.56a)   

b) Tam giác đều ABC (h.56b)    

c) Đường tròn tâm O.

(h.56c)

Lời giải

a) 1 trục đối xứng      b) 3 trục đối xứng      c) vô số trục đối xứng

Bài 5 Vẽ hình đối xứng với các hình đã cho qua trục d (h.58).

 

Lời giải:

Vẽ hình:

Bài 6 Cho góc xOy có số đo 50^o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

a) So sánh các độ dài OB và OC

b) Tính số đo góc BOC

Lời giải:

a) Ox là đường trung trực của AB => OA = OB

Oy là đường trung trực của AC => OA = OC

=> OB = OC

b) ΔOAC cân tại O có Oy là đường trung trực

⇒ Oy đồng thời là đường phân giác

+ ΔOAB cân tại O có Ox là đường trung trực

⇒ Ox đồng thời là đường phân giác

Bài 7 Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59.

Lời giải:

– Hình h không có trục đối xứng

– Hình có một trục đối xứng là: b, c, d, e, i

– Hình có hai trục đối xứng là: a

– Hình có năm trục đối xứng là: g

Bài 8 Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

Lời giải:

– ΔABC cân tại A có trục đối xứng là đường phân giác AH của góc BAC (đường này đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến).

– Hình thang cân ABCD nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy HK làm trục đối xứng.

Bài 9 a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D).

Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?

Lời giải:

a) Vì A và C đối xứng qua d

=> d là trung trực của AC => AD = CD

Nên AD + DB = CD + DB = CB (1)

Và AE = CE (d là trung trực của AC)

Nên AE + EB = CE + EB (2)

Mà CB < CE + EB (3)

Nên từ (1), (2), (3) suy ra AD + DB < AE + EB

b) Theo câu a) con đường ngắn nhất mà bạn Tú phải đi là con đường ADB.

Bài 10 Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển nguy hiểm: Đường hẹp hai bên (h.61a)

b) Biển nguy hiểm: Đường giao thông với đường sắt có rào chắn (h.61b)

c) Biển nguy hiểm: Đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)

d) Biển nguy hiểm khác (d.61d)

Lời giải:

– Các biển báo ở hình a, b, d có trục đối xứng.

– Biển báo c không có trục đối xứng.

Bài 11 Các câu sau đúng hay sai?

a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng đường thẳng hàng.

b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhau.

c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng.

d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.

Lời giải:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Giải thích: Bất kì đoạn thẳng AB nào đều có hai trục đối xứng đó là chính đường thẳng AB và đường trung trực của đoạn AB.

Bài 12 a) Hãy tập cắt chữ D (h.62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng.

b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (h.62b)?

Hình 62

Lời giải:

a) Cắt được chữ D. Gấp đôi tờ giấy (theo chiều của nét thẳng của chữ D) ta được trục đối xứng ngang của chữ D.

Các chữ cái có trục đối xứng:

– Chỉ có một trục đối xứng dọc: A, M, T, U, V, Y

– Chỉ có một trục đối xứng ngang: B, C, D, Đ, E, K

– Có hai trục đối xứng dọc và ngang: H, I, O , X

b) Có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H vì chữ H có hai trục đối xứng vuông góc.

Bài 13 Vẽ hình đối xứng với các hình đã cho qua trục d (h.58).

Lời giải:

Vẽ hình:

Bài 14 Cho góc xOy có số đo 50^o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

a) So sánh các độ dài OB và OC

b) Tính số đo góc BOC

Lời giải:

a) Ox là đường trung trực của AB suy ra OA = OB

Oy là đường trung trực của AC suy ra OA = OC

=> OB = OC

b) ΔAOB cân tại O (vì OA = OB)

Bài 15 Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59.

Lời giải:

– Hình h không có trục đối xứng

– Hình có 1 trục đối xứng: b, c, d, e, i

– Hình có 2 trục đối xứng: a

– Hình có 5 trục đối xứng: g

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) D đối xứng với E qua AH.

b) $\mathrm{\Delta }$ADC đối xứng với $\mathrm{\Delta }$AEB qua AH.

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A và F là điểm đối xứng với D qua điểm C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.

Bài 3 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC có $\hat{A}={50}^{\circ }$, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE

b) Tính số đo góc $\widehat{DAE}$

Bài 5 Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với A qua d và D là giao điểm của d với đoạn thẳng BC. Vẽ điểm E bất kì trên d (E khác D). Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

Bài 6 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, điểm E đối xứng với H qua AC. Chứng minh rằng:

a) Đoạn thẳng AD đối xứng với AH, đoạn thẳng BD đối xứng với BH qua trục AB. Đoạn thẳng AE đối xứng với AH, đoạn thẳng CE đối xứng với CH qua trục AC.

b) $\mathrm{\Delta }$ADB đối xứng với $\mathrm{\Delta }$AHB qua trục AB, $\mathrm{\Delta }$AEC đối xứng $\mathrm{\Delta }$AHC qua trục AC

Bài 7 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC, trung tuyến BD. Gọi E đối xứng với B qua A, I đối xứng với B qua D, F đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với F qua I.

Bài 8 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với E qua AH.

Bài 9 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC cân tại A có $\hat{A}={100}^{\circ }$. Gọi d là đường trung trực của  AC, vẽ điểm D đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Tính số đo $\widehat{CDB}$

Bài 10 Cho hình thang vuông ABCD có $\hat{A}=\hat{D}={90}^{\circ }$. Gọi E là điểm đối xứng của điểm C qua trục AD và I là giao điểm của AD, BE. Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=\widehat{CID}$

Bài 11 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC có D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong $\mathrm{\Delta }$ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình bình hành.

Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O vẽ hai đường thẳng, một đường cắt hai cạnh AB, CD ở E và F. Đường kia cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành.

Bài 13 Trên đường phân giác ngoài đỉnh C của $\mathrm{\Delta }$ABC, lấy điểm M khác C. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB

Bài 14 Cho tứ giác ABCD có góc ngoài đỉnh C bằng $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AB + BD > AC + CD

a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (hình 60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D).

Chứng minh: AD + DB < AE + EB.

b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (hình 60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?

Bài 15 Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển nguy hiểm: Đường hẹp hai bên (h.61a)

b) Biển nguy hiểm: Đường giao thông với đường sắt có rào chắn (h.61b)

c) Biển nguy hiểm: Đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)

d) Biển nguy hiểm khác (d.61d)

Bài 16 Các câu sau đúng hay sai?

a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng đường thẳng hàng.

b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một truc thì có chu vi bằng nhau.

c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng.

d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.

Bài 17 a) Hãy tập cắt chữ D (hình 62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng.

b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (hình 62b)?

Bài 18 Cho đường thẳng d và 1 điểm A không thuộc d. Hãy vẽ điểm A’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Bài 19 Cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB (h.51).

– Vẽ điểm A’ đối xứng với A qua d.

– Vẽ điểm B’ đối xứng với B qua d.

– Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB, vẽ điểm C’ đối xứng với C qua d

Bài 20 Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.

B. Lý thuyết Đối xứng trục

1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó

Quy ước: Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng của B qua đường thẳng d cũng chính là điểm B.

2. Hai hình đối xứng qua đường thẳng

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

3. Hình có trục đối xứng

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

Ta nói rằng hình H có trục đối xứng.

Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang đó.