50 Bài tập Diện tích hình thoi (có đáp án)- Toán 8

Bài tập Toán 8 Chương 2 Bài 5: Diện tích hình thoi 

A. Bài tập Diện tích hình thoi

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 8cm, 10cm. Diện tích hình thoi là?

A. 80cm².   

B. 40cm².

C. 18cm².   

D. 9cm².

Lời giải:

Diện tích của hình thoi là S = $\frac{1}{2}$d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = $\frac{1}{2}$.8.10 = 40( cm² )

Chọn đáp án B.

Bài 2: Hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là $a\sqrt{2}$cm, $a\sqrt{3}$ cm. Diện tích của hình thoi là ?

A. $a^2\sqrt{6}$ ( cm² )

B. $\frac{a^{2}6}{3}$( cm² )

C. $\frac{a^2\sqrt{6}}{2}$( cm² )

D. $\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$( cm² )

Lời giải:

Diện tích của hình thoi là S = $\frac{1}{2}$d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = $\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{3}$ = $\frac{a^2\sqrt{6}}{2}$(cm² )

Chọn đáp án C.

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có AB = BC = CD = DA = 4cm và $\widehat{BAC}$ = 60⁰. Diện tích của hình thoi ABCD là ?

A. 8(cm² )   

B. $8\sqrt{3}$ ( cm² )

C. 16( cm² )   

D. $16\sqrt{3}$ ( cm² )

Lời giải:

Xét hình thoi ABCD có $\widehat{BAC}$ˆ = 60⁰.

Ta có ⇒ Δ ABD đều.

⇒ AB = AD = BD = 4cm

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

Áp dụng định lí Py – to – go ta có:

AH² + HB² = AB² ⇒ AH = $\sqrt{(A{B}^2 – H{B}^2)}$

⇒ AC = 2AH = $4\sqrt{3}$ ( cm )

Do đó S_ABCD = $\frac{1}{2}$AC.BD = $\frac{1}{2}.4\sqrt{3}$ .4 = $8\sqrt{3}$ ( cm² )

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 40cm và đường chéo BD = 8cm. Diện tích của hình thoi là ?

A. 16( cm² )

B. $8\sqrt{21}$ ( cm² )

C. $16\sqrt{21}$ ( cm² )

D. 8( cm² )

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

⇒ HB = HD = 4( cm )

Theo giải thiết ta có:

P_ABCD = AB + BC + CD + DA = 40

⇒ AB = BC = CD = DA = 10( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có :

AH² + HB² = AB²$\sqrt{(A{B}^2 – H{B}^2)}$ = $\sqrt{({10}^2 – 4^2)}$ = $2\sqrt{21}$ ( cm )

⇒ AC = 2AH = $4\sqrt{21}$ ( cm )

Do đó S_ABCD = $\frac{1}{2}$.BD.AC = $\frac{1}{2}.4\sqrt{21}$ .8 = $16\sqrt{21}$ ( cm² )

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Biết OA = 3cm và OB = 5cm. Tính diện tích hình thoi?

A. 30cm²    

B. 35cm²

C. 40cm²    

D. 45cm²

Lời giải:

VÌ ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD

Suy ra: AC = 2OA = 2.3 = 6cm

Và BD = 2.OB = 2.5= 10cm

Diện tích hình thoi là:

Chọn đáp án A

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có AB = BC = 10 cm và O là giao điểm của hai đường chéo sao cho OA = 6cm. Tính diện tích hình bình hành ABCD

A. 96    

B. 80

C. 72    

D. 64

Lời giải:

Vì hình bình hành ABCD có 2 cạnh liền kề bằng nhau AB = BC nên ABCD là hình thoi

Suy ra: AB = BC = CD= DA = 10cm và O là trung điểm của AC và trung điểm của BD

Ta có: AC = 2AO = 2. 6 = 12cm

Áp dụng định lí py tago vào tam giác AOD có:

AD² = AO² + OD² suy ra: OD² = AD² – AO² = 10² – 6² = 64 nên OD = 8cm

Suy ra: BD = 2OD = 16cm

Diện tích hình thoi ABCD là:

Chọn đáp án A

Bài 7: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Diện tích của hình thoi là 120cm²; AC = 12cm . Tính độ dài cạnh của hình thoi

A. $2\sqrt{30}$cm    

B. $2\sqrt{34}$cm

C. 8cm    

D. 9cm

Lời giải:

Diện tích của hình thoi là:

Theo tính chất của hình thoi ta có: O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OAB có:

AB² = OA² + OB² = 6² + 10² = 136

⇒ AB = 2$\sqrt{34}$cm

Chọn đáp án B

Bài 8: Cho hình thoi ABCD có diện tích là 24cm². Tỉ số độ dài hai đường chéo là 3: 4. Tính độ dài hai đường chéo của hình thoi

A. 9cm và 12cm    

B. 12cm và 16cm

C. 6cm và 8cm    

D. 3cm và 4cm

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho hình thoi ABCD có diện tích là 40cm². Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.. Tính diện tích tam giác AOB?

A. 10 cm²    

B. 12 cm²

C. 8 cm²    

D. 5 cm²

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra

Diện tích hình thoi ABCD là:

Diện tích tam giác vuông OAB là:

Chọn đáp án A

Bài 10: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo biết diện tích tam giác ABC là 16cm². Tính diện tích hình thoi ABCD?

A. 24cm²    

B. 32cm²

C. 48cm²    

D. 64cm²

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Diện tích tam giác ABC là

Suy ra: BO.AC = 32

Diện tích hình thoi ABCD là:

Chọn đáp án B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo AC, BD, biết AC ⊥ BD tại H (h.145)

Lời giải

S_ABC = $\frac{1}{2}$ BH.AC

S_ADC = $\frac{1}{2}$ DH.AC

S_ABCD = S_ABC +S_ADC =$\frac{1}{2}$BH.AC + $\frac{1}{2}$DH.AC = $\frac{1}{2}$(BH+ DH).AC=$\frac{1}{2}$.BD.AC

(O là trung điểm BD nên BD = 2DO)

Bài 2 

a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6 cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ.

b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.

Lời giải:

a)

Có thể vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài. Chẳng hạn tứ giác ABCD ở hình trên.

Ta có: AC = 6cm, BD = 3,6cm và AC ⊥ BD.

Diện tích tứ giác ABCD là:

Mà AC = 6cm ; BD = 3,6 cm nên 

b) Hình vuông có 2 đường chéo vuông góc nên theo công thức trên, diện tích của nó là:

Bài 3

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD, vẽ hình chữ nhật có một cạnh là đường chéo BD, cạnh kia bằng IC (bằng nửa AC).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật BDEF bằng diện tích hình thoi ABCD.

Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi: Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Bài 4

a) Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6 cm, 6cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ.

b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d.

Lời giải:

a)

Có thể vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài. Chẳng hạn tứ giác ABCD ở hình trên.

Ta có: AC = 6cm, BD = 3,6cm và AC ⊥ BD.

Diện tích tứ giác ABCD là:

b) Hình vuông có 2 đường chéo vuông góc nên theo công thức trên, diện tích của nó là:

Bài 5

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD, vẽ hình chữ nhật có 1 cạnh là đường chéo BD, cạnh kia bằng IC (bằng nửa AC).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật BDEF bằng diện tích hình thoi ABCD.

Thật vậy:

Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi: Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Bài 6 

Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải:

Vẽ hình chữ nhật ABCD với các trung điểm các cạnh là M, N, P, Q.

Vẽ tứ giác MNPQ.

Nên tứ giác MNPQ là hình thoi vì có 2 cạnh bằng nhau

Dễ dàng chứng minh rằng: ΔAMN = ΔINM, ΔBPN = ΔNIP

ΔPCQ = ΔIQP, ΔDMQ = ΔIQM

Hay diện tích hình thoi bằng nửa tích 2 đường chéo.

Bài 7 Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là 60^o.

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 6cm, góc $\hat{A}$ = 60^o.

– Cách 1:

ΔABD là tam giác đều nên BD = AB = 6cm

I là giao điểm của AC và BD => AI ⊥ DB

⇒ AI là đường cao của tam giác đều ABD nên

– Cách 2:

Khi đó ΔABD là tam giác đều. Từ B vẽ BH ⊥ AD thì HA = HD.

Nên tam giác vuông AHB là nửa tam giác đều.

BH là đường cao tam giác đều cạnh 6cm, nên

Bài 8 Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?

Lời giải:

Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi là 4a

Suy ra cạnh hình thoi và cạnh hình vuông đều có độ dài a

Ta có: S_MNPQ = a²

Từ đỉnh góc tù B của hình thoi ABCD vẽ đường cao BH có độ dài h.

ABCD là hình thoi

⇒ ABCD là hình bình hành

⇒ S_ABCD = ah

Mà ta luôn có h ≤ a (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

⇒ ah ≤ a² ⇒ S_ABCD ≤ S_MNPQ

Vậy diện tích hình vuông luôn lớn hơn diện tích hình thoi.

Bài 9 Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo AC, BD, biết AC ⊥ BD tại H (h.145)

Lời giải

Bài 10 Hãy viết công thức tính diện tích hình thoi theo hai đường chéo.

Lời giải

Vì hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau

Nên: Hình thoi có độ dài 2 đường chéo lần lượt là d1 ,d2 

⇒ Công thức tính diện tích hình thoi

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình thoi ABCD có AB = 6cm, $\hat{A}$ = 60^∘ . Tính diện tích hình thoi.

Bài 2 Cho hình vuông ABCD có đường chéo bằng 6cm. Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho AM = 2cm. Qua M kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của hình vuông, chúng cắt AB, CD lần lượt ở E và F, cắt AD, BC thứ tự ở G và H. Tính diện tích hai hình vuông nhỏ.

Bài 3 Hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC ⊥ BD và đường trung bình bằng 4cm.  Hãy tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó.

Bài 4: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 8cm, 10cm. Diện tích hình thoi là?

Bài 5 Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 6,2cm và một trong các góc của nó bằng 30 độ.

Bài 6 Tính diện tích hình thoi ABCD biết AB = 13cm, AC = 10cm.

Bài 7 Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm và tổng hai đường chéo bằng 46cm.

B. Lý thuyết Diện tích hình thoi.

1. Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Ta có: S = 1/2d₁.d₂

Ví dụ: Cho hình thoi có lần lượt độ dài hai đường chéo là 10cm, 15cm. Tính diện tích hình thoi đó ?

Hướng dẫn:

Diện tích hình thoi là : S = 1/2.10.15 = 75( cm² ).