20 Bài tập Tứ giác (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Tứ giác

A. Bài tập Tứ giác

Bài 1. Cho hình vẽ. Tìm x.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất về góc vào tứ giác MNPQ, ta có:

 

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360°$

Hay 3x + 4x + x + 2x = 360°

Suy ra 10x = 360° hay x = 36°.

Vậy x = 36°.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}:\widehat{D}=6:5:4:3$ . Tính các góc của tứ giác ABCD.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$

Mặt khác , theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

 

$\frac{\widehat{\text{A}}}{6}+\frac{\widehat{\text{B}}}{5}+\frac{\widehat{\text{C}}}{4}+\frac{\widehat{\text{D}}}{3}=\frac{\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}+\widehat{\text{D}}}{6+5+4+3}=\frac{360°}{18}=20°$

Suy ra $\widehat{A}=20°.6=120°$ ; $\widehat{\text{B}}\text{ = 20°. 5 = 100°}$ ;

$\widehat{C}=20°.4=80°$; $\widehat{D}=20°.3=60°$ .

Vậy $\widehat{A}=120°;\widehat{B}=100°;\widehat{C}=80°;\widehat{D}=60°.$

Bài 3. Chứng minh rằng trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC:

AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác ABC)

AC < AD + DC (bất đẳng thức trong tam giác ADC)

Suy ra 2AC < AB + BC + AD + DC.

Do đó $AC<\frac{AB+BC+AD+DC\text{}}{2}$

Chứng minh tương tự, $BD<\frac{AB+BC+AD+DC\text{}}{2}$ .

Vậy trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác.

Bài 4. Cho bốn điểm E, F, G, H (hình vẽ).

Vẽ một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho và tìm các yếu tố sau:

a) cạnh kề, cạnh đối của cạnh GH.

b) góc đối của $\widehat{EFG}$ .

c) hai đường chéo của tứ giác.

Hướng dẫn giải

a) Cạnh kề của cạnh GH là cạnh GF; cạnh đối của cạnh GH là cạnh EF.

b) Góc đối của $\widehat{EFG}$ là $\widehat{EHG}$ .

c) Hai đường chéo của tứ giác là EG và FH.

Bài 5. Tính x trong mỗi hình sau:

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, trong tứ giác ABCD có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^o$

Suy ra $x=\hat{A}={360}^o-\left(\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}\right)$

$x={360}^o-\left({60}^o+{60}^o+{120}^o\right)={360}^o-{240}^o={120}^o$

Vậy $x={120}^o$ .

b) Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, trong tứ giác EGHF có: $\hat{E}+\hat{G}+\hat{H}+\hat{F}={360}^o$

Suy ra $x=\hat{H}={360}^o-\left(\hat{E}+\hat{G}+\hat{F}\right)$

$x={360}^o-\left({140}^o+{130}^o+{55}^o\right)={360}^o-{325}^o={35}^o$

Vậy $x={35}^o$

Bài 6. Tứ giác ABCD có $\hat{C}=50°$ ; $\hat{B}=60°$ ; $\hat{A}-\hat{B}=40°$ . Tính số đo các góc A và D.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết: $\hat{A}-\hat{B}={40}^o$nên $\hat{A}={40}^o+\hat{B}={40}^o+{60}^o={100}^o$

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, trong tứ giác ABCD có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^o$

Suy ra $\hat{D}={360}^o-\left(\hat{B}+\hat{C}+\hat{A}\right)$

$\hat{D}={360}^o-\left({60}^o+{50}^o+{100}^o\right)={360}^o-{210}^o={150}^o$

Vậy $\hat{A}={100}^o;\hat{D}={150}^o$

Bài 7. Tính góc chưa biết của các tứ giác trong hình sau:

Hướng dẫn giải

+ Tứ giác ABCD có 3 góc vuông nên $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=90°$. Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

Suy ra $\hat{D}=360°-(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C})=360°-(90°+90°+90°)=90°.$

+ Vì $\widehat{MNx}+\widehat{MNP}=180°$(hai góc kề bù)$\Rightarrow \widehat{MNP}=180°-85°=95°.$

$\widehat{NPy}+\widehat{NPQ}=180°$(hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{NPQ}=180°-100°=80°.$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có:$\hat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{NPQ}+\hat{Q}=360°$

Suy ra $\hat{Q}=360°-(\hat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{NPQ})=360°-130°-95°-80°=55°$.

Bài 8. Tính góc chưa biết của tứ giác trong hình dưới đây, biết $\hat{I}+\hat{K}=180°$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\hat{I}+\hat{K}=180°$mà $\hat{K}=60°\Rightarrow \hat{I}=120°$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có:

$\hat{I}+\hat{K}+\hat{M}+\hat{L}=360°\Rightarrow \hat{M}=360°-(\hat{I}+\hat{K}+\hat{L})=360°-(120°+60°+135°)=45°$.

Bài 9. Tứ giác MNEF có MN = MF, NE = FE, được gọi là hình cái diều.

a) Chứng minh ME là đường trung trực của đoạn thẳng NF.

b) Tính các góc E, F biết $\hat{M}=100°,\hat{N}=105°.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta MNE$ và $\Delta MFE$  có:

MN = MF$\Rightarrow NH=FH$ (giả thiết)

NE = FE (giả thiết)

ME chung

Do đó $\Delta MNE$  = $\Delta MFE$  (cạnh – cạnh – cạnh) $\Rightarrow \widehat{FME}=\widehat{NME}$

Gọi H là giao điểm của ME và NF

Xét $\Delta MNH$và $\Delta MFH$  có:

MN = MF ( giả thiết)

$\widehat{FME}=\widehat{NME}$ (chứng minh trên)

MH chung

Do đó $\Delta MNH$ = $\Delta MFH$  (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow NH=FH$(1)

Và $\widehat{MHN}=\widehat{MHF}$  mà $\widehat{MHN}+\widehat{MHF}=180°\Rightarrow \widehat{MHN}=\widehat{MHF}=90°$

$\Rightarrow ME\perp NF$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ME là đường trung trực của đoạn thẳng NF.

b) Vì $\Delta MNE=\Delta MFE\Rightarrow \widehat{MNE}=\widehat{MFE}=105°$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác suy ra $\widehat{NEF}=50°$.

B. Lý thuyết Tứ giác

1. Tứ giác lồi

+ Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC , CD, DA trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đoạn thẳng.

Ví dụ 1: Hình a, b, c là tứ giác, hình d không phải là tứ giác.

Trong tứ giác ABCD, các điểm A, B, C, D là các đỉnh, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là các cạnh.

+ Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại (Hình a ở ví dụ 1 là tứ giác lồi, hình b, c không phải tứ giác lồi).

+ Trong tứ giác lồi, các góc ABC, BCD, CDA, DAB gọi là các góc của tứ giác và kí hiệu đơn giản lần lượt là $\hat{B},\hat{C},\hat{D},\hat{A}.$

Chú ý:

+ Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không giải thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

+ Tứ giác ABCD trong hình a còn được gọi tên là tứ giác BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD, BADC.

Ví dụ 2: Cho bốn điểm M, N, P, Q như hình, kể tên một tứ giác có các đỉnh là bốn điểm đã cho.

+ Tứ giác MNPQ (hoặc NPQM, PQMN, QMNP, MQPN, QPNM, PNMQ, NMQP).

Ví dụ 3: Quan sát tứ giác MNPQ dưới đây:

Ta có:

+ Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối nhau. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau là một đường chéo, có hai đường chéo là MP và NQ.

+ Cặp cạnh MN, PQ và MQ, NP là các cặp cạnh đối.

+ Cặp góc M, P và N, Q là các cặp góc đối.

2. Tổng các góc của một tứ giác

+ Định lí: Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°.

Ví dụ 4: Cho tứ giác MNPQ như hình bên, hãy tính góc M.

Giải

Vì $MN\perp NP$  và $MQ\perp QP$  nên $\hat{N}=\hat{Q}=90°.$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có: $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}+\hat{Q}=360°$

Do đó $\hat{M}=360°-(\hat{N}+\hat{P}+\hat{Q})=360°-(90°+90°+120°)=60°$

Vậy $\hat{M}=60°.$

Video bài giảng Toán 8 Bài 10: Tứ giác – Kết nối tri thức