Bài tập Toán 8 Đường trung bình của tam giác
A. Bài tập Đường trung bình của tam giác
Bài 1: Tính độ dài đoạn AE, biết DE // BC và AC = 8 cm.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có: D là trung điểm AB và DE // BC
⇒ E là trung điểm của AC.
Suy ra: AE = .
Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM.
Hướng dẫn giải
Gọi E là trung điểm của DC.
Trong ΔBDC, ta có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
E là trung điểm của CD (ta gọi).
Nên ME là đường trung bình của ∆BCD.
⇒ ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác).
Suy ra: DI // ME.
Lại có: AD = DC (giả thiết).
DE = DC (vì E là trung điểm của DC).
Suy ra AD = DE nên D là trung điểm của AE.
Xét tam giác AME có D là trung điểm của AE và DI // ME (cmt).
Suy ra I là trung điểm của AM (tính chất đường trung bình của tam giác)
Vậy AI = IM.
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Tính tỉ số .
Hướng dẫn giải
Xét ∆BEC có:
M là trung điểm của BC;
F là trung điểm của EC.
Do đó, MF là đường trung bình của ∆BEC.
Suy ra MF // BE.
Xét ∆AMF có:
D là trung điểm của AM;
DE // MF (do MF // BE).
Do đó, DE là đường trung bình của ∆AMF.
Suy ra E là trung điểm của AF nên AE = EF.
Mà EF = FC = EC (do F là trung điểm của EC)
Do vậy, AE = EF = FC = EC.
Suy ra .
B. Lý thuyết Đường trung bình của tam giác
1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Ví dụ: Chỉ ra các đường trung bình trong tam giác sau với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.
Hướng dẫn giải
Các đường trung bình của ∆ABC là DE, DF, EF.
2. Tính chất đường trung bình của tam giác
2.1. Tính chất đường trung bình của tam giác
Định lí: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
2.2. Chứng minh định lí
Gọi M là trung điểm của BC.
Tam giác ABC có , suy ra DE // BC (định lí Thalès đảo).
Tương tự ta chứng minh được EM // AB.
Tứ giác DEMB có DE //BM và EM // DB nên tứ giác DEMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành), suy ra DE = BM = .
Vậy DE // BC; DE = .
Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Biết BC = 8 cm. Tính DE.
Hướng dẫn giải
Ta có tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Do đó, DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra: DE = = = 4 (cm).
Vậy DE = 4 cm.
Video bài giảng Toán 8 Bài 16: Đường trung bình của tam giác – Kết nối tri thức