Giải SGK Toán 7 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đa thức một biến

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến

1. Đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 29 Tập 2

Khởi động 1 trang 29 Toán lớp 7: Các biểu thức 2y + 5; $2x^2-4x+7$ được gọi là gì?

Phương pháp giải:

Dựa theo định nghĩa đa thức một biến

Lời giải:

Các biểu thức 2y + 5; $2x^2-4x+7$ là đa thức một biến.

Giải Toán 7 trang 30 Tập 2

Khám phá 1 trang 30 Toán lớp 7: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào không chứa phép tính cộng, phép tính trừ?

$3x^2$;      6 – 2y ;            3t;        $3t^2-4t+5$;       -7

$3u^4+4u^2$;              $-2z^4$;               1;         $2021y^2$

Phương pháp giải:

Quan sát dấu của phép tính trong biểu thức

Lời giải:

Các biểu thức không chứa phép cộng, phép trừ là : $3x^2;3t;-7;-2z^4;1;2021y^2$

Thực hành 1 trang 30 Toán lớp 7: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến:

M = 3;             N = 7x;           P = $10-y^2+5y$;                     Q = $\frac{4t-7}{3}$;               R = $\frac{2x-5}{1+x^2}$

Phương pháp giải:

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức một biến

Lời giải:

Các đa thức một biến là : M, N, P, Q

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

Thực hành 2 trang 30 Toán lớp 7: Cho đa thức P(x) = $7+4x^2+3x^3-6x+4x^3-5x^2$

a) Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc của P(x) và tìm các hệ số.

Phương pháp giải:

Dựa vào quy tắc sắp xếp đa thức 1 biến

Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Lời giải:

a) P(x) = $7+4x^2+3x^3-6x+4x^3-5x^2$

       $=7x^3-x^2-6x+7$

b) Đa thức P(x) có bậc là 3

Hệ số cao nhất là 7

Hệ số của $x^2$là -1

Hệ số của $x$là -6

Hệ số tự do là 7

3. Giá trị của đa thức một biến

Khám phá 2 trang 30 Toán lớp 7: Diện tích của một hình chữ nhật được biểu thị bởi đa thức P(x) = $2x^2+4x$. Hãy tính diện tích của hình chữ nhật ấy khi biết x = 3cm.

Phương pháp giải:

Thay x = 3 vào đa thức P(x)

Lời giải:

Thay x = 3 vào biểu thức và được diện tích hình chữ nhật ấy khi x = 3 cm là: $P(3)={2.3}^2+4.3=30(c{m}^2)$

Giải Toán 7 trang 31 Tập 2

Thực hành 3 trang 31 Toán lớp 7: Tính giá trị của đa thức $M(t)=-5t^3+6t^2+2t+1$ khi $t=-2$.

Phương pháp giải:

Thay $t=-2$ vào đa thức M(t)

Lời giải:

Thay t = -2 đã cho vào đa thức ta được : $M(-2)=-5.(-2{)}^3+6.(-2{)}^2+2.(-2)+1=61$

Vận dụng 1 trang 31 Toán lớp 7: Quãng đường một chiếc ô tô đi từ A đến B được tính theo biểu thức s = 16t, trong đó s là quãng đường tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính quãng đường ô tô đi được sau 10 giây.

Phương pháp giải:

Thay t = 10 vào công thức, tìm s

Lời giải:

Thay t = 10 vào công thức, ta được: s = 16.10 = 160 (m)

Vậy trong 10 giây, quãng đường ô tô đi được là : 160 m.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Khám phá 3 trang 31 Toán lớp 7: Cho đa thức $P(x)=x^2-3x+2$. Hãy tính giá trị của P(x) khi $x=1,x=2,x=3.$

Phương pháp giải:

Thay lần lượt các x vào đa thức P(x)

Lời giải:

P(x) = $x^2-3x+2$

Khi x = 1 ta thay x = 1 vào P(x), được: $P(1)=1^2-3.1+2=0$

Khi x = 2 ta thay x = 2 vào P(x), được: $P(2)=2^2-3.2+2=0$

Khi x = 3 ta thay x = 3 vào P(x), được: $P(3)=3^2-3.3+2=2$

Thực hành 4 trang 31 Toán lớp 7: Cho P(x) = $x^4+x^2-9x-9$.Hỏi mỗi số x = -1, x = 1 có phải là một nghiệm của P(x) không?

Phương pháp giải:

Ta thay x = 1 và x = -1 vào P(x)

Nếu P(x) = 0 thì x là một nghiệm của P(x)

Lời giải:

Ta có : P(x) = $x^4+x^2-9x-9$

Thay x = 1 vào ta có : P(1) =$x^3+x^2-9x-9=1^3+1^2-9.1-9=-16$

Thay x = -1 vào ta có : P(-1) = $x^3+x^2-9x-9=(-1{)}^3+(-1{)}^2-9.(-1)-9=0$

Vậy x = -1 là nghiệm của P(x)

Vận dụng 2 trang 31 Toán lớp 7: Diện tích mỗi hình chữ nhật cho bởi biểu thức S(x) = $2x^2+x$. Tính giá trị của S khi x = 4 và nêu một nghiệm của đa thức Q(x) = $2x^2+x-36$.

Phương pháp giải:

– Ta thay x = 4 để tính S khi x = 4

– Ta xét Q(x) = 0 và tìm nghiệm

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật được cho bởi biểu thức : S(x) = $2x^2+x$

Thay x = 4 vào biểu thức ta có :

Diện tích hình chữ nhật là: S(4) = 2.16 + 4 = 36

Ta thấy: Q(4) = 2.42 + 4 – 36 = 0 nên x = 4 là một nghiệm của đa thức Q(x)

Bài tập (trang 31, 32)

Bài 1 trang 31 Toán lớp 7: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đơn thức một biến:

a) $5x^3$               b) 3y + 5          c) 7,8               d) $23.y.y^2$

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa về đơn thức 1 biến

Lời giải:

Các đơn thức 1 biến là : a);   c);   d)

Bài 2 trang 31 Toán lớp 7: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến

A = -32;           B = 4x + 7;        M = $15-2t^3+8t$;          N = $\frac{4-3y}{5}$;                        Q = $\frac{5x-1}{3x^2+2}$

Phương pháp giải:

– Dựa vào định nghĩa đa thức 1 biến .

Lời giải:

Các đa thức 1 biến là : A, B, M, N là những đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 32 Tập 2

Bài 4 trang 32 Toán lớp 7: Hãy cho biết phần hệ số và phần biến của mỗi đa thức sau:

a) $4+2t-3t^3+2,3t^4$                                             b) $3y^7+4y^3-8$

Phương pháp giải:

Dựa vào các định nghĩa của đa thức một biến

Lời giải:

a) $4+2t-3t^3+2,3t^4$

Ta thấy đa thức có biến là y

4 là hệ số tự do

2 là hệ số của t

0 là hệ số của $t^2$

-3 là hệ số của $t^3$

2,3 là hệ số của $t^4$

b) $3y^7+4y^3-8$

Ta thấy đa thức có biến là y

3 là hệ số của $y^7$

0 là hệ số của $y^6;y^5;y^4$;$y^2;y$

4 là hệ số của $y^3$

-8 là hệ số tự do

Bài 5 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức P(x) = $7+10x^2+3x^3-5x+8x^3-3x^2$.Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm của biến

Phương pháp giải:

Thu gọn đa thức và sắp xếp

Lời giải:

$P(x)=7+10x^2+3x^3-5x+8x^3-3x^2=(3x^3+8x^3)+(10x^2-3x^2)-5x+7=11x^3+7x^2-5x+7$

Bài 6 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức P(x) = $2x+4x^3+7x^2-10x+5x^3-8x^2$. Hãy viết đa thức thu gọn, tìm bậc và các hệ số của đa thức P(x).

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn đa thức

Bước 2: Tìm bậc của đa thức: Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Bước 3: Tìm các hệ số trong đa thức

Lời giải:

P(x) = $2x+4x^3+7x^2-10x+5x^3-8x^2$

 $=9x^3-x^2-8x$

Ta thấy số mũ cao nhất của biến x là 3 nên P(x) có bậc là 3

Hệ số của $x^3$ là 9

Hệ số của $x^2$là -1

Hệ số của x là -8

Hệ số tự do là 0

Bài 7 trang 32 Toán lớp 7: Tính giá trị của các đa thức sau:

a) P(x) = $2x^3+5x^2-4x+3$ khi x = -2

b) Q(y) =$2y^3-y^4+5y^2-y$khi y = 3

Phương pháp giải:

Thay x và y đề bài đã cho để tính giá trị của đa thức

Lời giải:

a) P(x) = $2x^3+5x^2-4x+3$ thay x = -2 vào đa thức ta có :

$P(-2)=2(-2{)}^3+5(-2{)}^2-4.(-2)+3=2.(-8)+5.4-4.(-2)+3=15$

b) Q(y) =$2y^3-y^4+5y^2-y$ thay y = 3 vào đa thức ta có :

$Q(3)=23^3-3^4+53^2-3=2.27-81+5.9-3=15$

Bài 8 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức M(t) = $t+\frac{1}{2}{t}^3$.

a) Hãy nêu bậc và các hệ số của M(t)

b) Tính giá trị của M(t) khi t = 4

Phương pháp giải:

– Dựa vào định nghĩa của đa thức một biến

– Thay t vào để tính M(t)

Lời giải:

a) Xét M(t) = $t+\frac{1}{2}{t}^3$ ta thấy biến t có mũ cao nhất là 3

Nên bậc của đa thức là 3

Hệ số của $t^3$ là$\frac{1}{2}$

Hệ số của $t^2$ là 0

Hệ số của $t$ là 1

Hệ số tự do là 0

b) Thay t = 4 vào M(t) ta có :

$4+\frac{1}{2}{4}^3=4+32=36$

Bài 9 trang 32 Toán lớp 7: Hỏi $x=-\frac{2}{3}$ có phải là một nghiệm của đa thức P(x) = 3x + 2 không?

Phương pháp giải:

Thay x = $-\frac{2}{3}$ vào đa thức xem giá trị của đa thức có bằng 0 hay không. Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì x = $-\frac{2}{3}$ là một nghiệm của đa thức P(x)

Lời giải:

Thay x = $-\frac{2}{3}$ vào đa thức P(x) = 3x + 2 ta có : P(x) = $3.(-\frac{2}{3})+2$= 0

Vì P( $-\frac{2}{3}$) = 0 nên x = $-\frac{2}{3}$ là 1 nghiệm của đa thức P(x) 

Bài 10 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức Q(y) = $=2y^2-5y+3$. Các số nào trong tập hợp $\left\{1;2;3;\frac{3}{2}\right\}$là nghiệm của Q(y).

Phương pháp giải:

Thay lần lượt các phần tử của tập hợp vào đa thức Q(y). Nếu Q(a) = 0 thì y = a là một nghiệm của Q(y)

Lời giải:

Xét Q(1) = 2.12 – 5.1 + 3 = 2 – 5 + 3 = 0 nên 1 là một nghiệm của Q(y)

Q(2) = 2.22 – 5.2 + 3 = 8 – 10 + 3 = 1$\ne$0 nên 2 không là nghiệm của Q(y)

Q(3) = 2.32 – 5.3 + 3 = 18 – 15 + 3 = 6$\ne$0 nên 3 không là nghiệm của Q(y)

$Q(\frac{3}{2})=2.{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-5.\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+3=0$ nên $\frac{3}{2}$ là một nghiệm của Q(y)

Vậy $1;\frac{3}{2}$ là nghiệm của Q(y)

Bài 11 trang 32 Toán lớp 7: Đa thức M(t) = $3+t^4$ có nghiệm không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Xét M(t) = 0 và tìm t nếu tồn tại t thì đó là nghiệm của M(t)

Lời giải:

Vì

$\begin{array}{l}{t}^4\ge 0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\\ \Rightarrow t^4+3\ge 3>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\\ \Rightarrow t^4+3\ne 0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy đa thức M(t) = $3+t^4$ không có nghiệm

Bài 12 trang 32 Toán lớp 7: Một chiếc ca nô đang chạy với tốc độ v = 16 + 2t (v theo đơn vị mét/giây, t là thời gian tính theo đơn vị giây). Tính tốc độ ca nô với t = 5 

Phương pháp giải:

Thay t = 5 vào công thức đề bài cho

Lời giải:

Thay t = 5 vào công thức ta được: v = 16 + 2.5 = 26

Vậy tốc độ của chiếc ca nô là 26m/s

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết:

Bài 1: Biểu thức số và biểu thức đại số

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài tập cuối chương 7