Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba
Tìm hiểu khái niệm căn bậc ba, tính chất và các phép tính cơ bản với căn bậc ba.
Lý thuyết: Căn bậc ba và căn thức bậc ba
1 1. Khái niệm căn bậc ba
- Số $x$ gọi là căn bậc ba của số $a$ nếu $x^3 = a$. Ký hiệu: $x = \sqrt[3]{a}$.
- Sự khác biệt với căn bậc hai: Mọi số thực $a$ đều có đúng một căn bậc ba thực (không cần điều kiện $a \geq 0$).
- Ví dụ: $\sqrt[3]{8} = 2$ (vì $2^3=8$); $\sqrt[3]{-8} = -2$ (vì $(-2)^3=-8$); $\sqrt[3]{0} = 0$.
2 2. Tính chất căn bậc ba
- $\sqrt[3]{a^3} = a$ với mọi $a$.
- $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}$ với mọi $a, b$.
- $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ với $b \neq 0$.
- $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ (hàm căn bậc ba đồng biến).
3 3. So sánh căn bậc ba với căn bậc hai
- Căn bậc hai: chỉ xác định với $a \geq 0$, cho giá trị không âm.
- Căn bậc ba: xác định với mọi $a$ thực, có thể âm khi $a < 0$.
- $\sqrt[3]{a^3} = a$ (luôn đúng), còn $\sqrt{a^2} = |a|$ (không bằng $a$ khi $a<0$).
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc ba
Phương pháp giải
- Nhận dạng các căn bậc ba của các số chính phương lập phương.
- Áp dụng tính chất để tính toán.
- Chú ý: căn bậc ba của số âm là số âm.
Ví dụ minh họa
Giải:
$\sqrt[3]{27} = 3$; $\sqrt[3]{-64} = -4$; $\sqrt[3]{125} = 5$.
Kết quả: $3 + (-4) + 5 = 4$.
Giải:
$\sqrt[3]{54} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{54 \cdot 4} = \sqrt[3]{216} = 6$ (vì $6^3 = 216$).
2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba
Phương pháp giải
- Phân tích số dưới dấu căn bậc ba.
- Tách thành lũy thừa ba nhân với phần lẻ.
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
Ví dụ minh họa
Giải:
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$.
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Biểu thức $= 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2} = 0$.
Giải:
$\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3} = 2+\sqrt{5}$.
$\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})^3} = 2-\sqrt{5}$ (vì $\sqrt[3]{\cdot}$ xác định với mọi số thực).
Tổng $= (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4$.
3 Dạng 3: Vận dụng thực tế - thể tích khối hộp
Phương pháp giải
- Nếu biết thể tích khối lập phương, tìm cạnh bằng căn bậc ba.
- Áp dụng công thức $a = \sqrt[3]{V}$.
Ví dụ minh họa
Giải:
$a = \sqrt[3]{216} = 6$ dm = 60 cm.
Chiều dài cạnh bể là 6 dm.
Giải:
$V = 2(27) + 3(9) + 3(3) + 1 = 54 + 27 + 9 + 1 = 91$ cm³.
Cạnh khối lập phương có thể tích $91$ cm³: $c = \sqrt[3]{91} \approx 4.5$ cm.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 17 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay