Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai
Tìm hiểu khái niệm căn bậc hai số học, căn thức bậc hai, điều kiện xác định và các phép tính cơ bản liên quan đến căn bậc hai.
Lý thuyết: Căn bậc hai và căn thức bậc hai
1 1. Căn bậc hai số học
- Với số $a \geq 0$, số $x \geq 0$ thỏa mãn $x^2 = a$ gọi là căn bậc hai số học của $a$, ký hiệu $\sqrt{a}$.
- Ví dụ: $\sqrt{9} = 3$ (vì $3^2 = 9$ và $3 \geq 0$); $\sqrt{0} = 0$.
- Với $a \geq 0$: $\sqrt{a} \geq 0$ và $(\sqrt{a})^2 = a$.
- $\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi $a$. (Vì $\sqrt{a^2} \geq 0$, bằng $a$ nếu $a \geq 0$, bằng $-a$ nếu $a < 0$.)
2 2. Căn thức bậc hai
- Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A$ là biểu thức đại số.
- Điều kiện xác định (ĐKXĐ): $\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi $A \geq 0$.
- Ví dụ: $\sqrt{2x - 1}$ xác định khi $2x - 1 \geq 0$, tức $x \geq \frac{1}{2}$.
3 3. So sánh các căn bậc hai
- Với $a, b \geq 0$: $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$.
- Biến đổi: so sánh $\sqrt{a}$ và $\sqrt{b}$ bằng cách so sánh $a$ và $b$ (khi đã đảm bảo $a, b \geq 0$).
- Ví dụ: So sánh $\sqrt{7}$ và $2\sqrt{2}$: $7$ và $(2\sqrt{2})^2 = 8$. Vì $7 < 8$ nên $\sqrt{7} < 2\sqrt{2}$.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tính và đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai số học
Phương pháp giải
- Áp dụng định nghĩa: $\sqrt{a^2} = |a|$.
- Chú ý: $\sqrt{a} \geq 0$ luôn đúng.
- Thực hiện các phép tính cơ bản.
Ví dụ minh họa
Giải:
$\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$; $\sqrt{(-3)^2} = |{-3}| = 3$.
Kết quả: $8 + \frac{1}{2} - 3 = 5.5 = \frac{11}{2}$.
Giải:
$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}|$.
Vì $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$ nên $2 - \sqrt{5} < 0$.
$|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$.
2 Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của căn thức
Phương pháp giải
- Đặt biểu thức trong dấu căn $\geq 0$.
- Giải bất phương trình vừa lập.
- Kết luận ĐKXĐ.
Ví dụ minh họa
Giải:
ĐKXĐ: $3x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$.
Giải:
ĐKXĐ: $x^2 - 4 > 0$ (phải dương vì nằm ở mẫu)
$(x-2)(x+2) > 0 \Rightarrow x < -2$ hoặc $x > 2$.
3 Dạng 3: Vận dụng thực tế – căn bậc hai trong đo lường
Phương pháp giải
- Nhận diện bài toán hình học hoặc vật lý liên quan đến căn bậc hai.
- Áp dụng định lý Pythagore hoặc công thức diện tích.
- Tính căn và kết luận.
Ví dụ minh họa
Giải:
Gọi cạnh hình vuông là $a$ (m).
$a^2 = 200 \Rightarrow a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.1$ m.
Giải:
Theo định lý Pythagore: $l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ m.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 17 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay