Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Tìm hiểu về bội chung, bội chung nhỏ nhất (BCNN) và cách quy đồng mẫu các phân số.

🔴 Khó 45 phút

Lý thuyết

1 1. Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Ký hiệu tập hợp bội chung của $a$ và $b$ là $BC(a, b)$.

2 2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Quy tắc tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố:

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.

Các dạng bài tập

1 Dạng 1: Tìm BCNN của các số

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc 3 bước (phân tích, chọn thừa số chung và riêng, lấy số mũ lớn nhất).
Đặc biệt: BCNN của các số nguyên tố cùng nhau là tích của các số đó.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Tìm $BCNN(12, 18)$.

GIẢI

Giải:

$12 = 2^2 \cdot 3$; $18 = 2 \cdot 3^2$.
Thừa số chung và riêng là 2 và 3.
$BCNN(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

VÍ DỤ 2

Tìm $BCNN(8, 9)$.

GIẢI

Giải:

Vì 8 và 9 nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(8, 9) = 8 \cdot 9 = 72$.

2 Dạng 2: Bài toán thực tế ứng dụng BCNN

Phương pháp giải

Phân tích bài toán để nhận ra đại lượng cần tìm là bội chung của các số.
Đại lượng cần tìm thường là số nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện chia hết.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Hai bạn An và Bình cùng trực nhật vào một ngày. An cứ 6 ngày trực một lần, Bình cứ 8 ngày trực một lần. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa hai bạn lại cùng trực nhật?

GIẢI

Giải:

Số ngày là $BCNN(6, 8)$.

$6 = 2 \cdot 3$; $8 = 2^3$.

$BCNN(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 24$. Vậy sau 24 ngày hai bạn lại cùng trực.

VÍ DỤ 2

Một số sách khi xếp thành từng bó 12 cuốn, 15 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 100 đến 150. Tính số sách đó.

GIẢI

Giải:

Số sách là bội chung của 12 và 15. $BCNN(12, 15) = 60$.

Các bội chung là: $0, 60, 120, 180...$.

Vì số sách trong khoảng 100 đến 150 nên số sách là 120.