Bài 17. Phương trình mặt cầu

① Dạng chính tắc (hoặc dạng chuẩn):

Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

② Dạng tổng quát:

$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$$

Điều kiện để đây là phương trình mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó tâm $I(a, b, c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

Cho mặt cầu $S(I, R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $d = d(I, P)$:

• $d > R$: Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
• $d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại một điểm (điểm đó là hình chiếu của $I$ lên $(P)$).
• $d < R$: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Cho mặt cầu $S(I, R)$ và đường thẳng $\Delta$. Gọi $h = d(I, \Delta)$:

• $h > R$: Không có điểm chung.
• $h = R$: Tiếp xúc (đường thẳng là tiếp tuyến).
• $h < R$: Cắt tại hai điểm phân biệt. Đoạn dây cung có độ dài $L = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.