Bài 14. Phương trình mặt phẳng
Nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng, các trường hợp đặc biệt, vị trí tương đối và công thức tính khoảng cách.
Lý thuyết mặt phẳng
1 1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương
Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VPT) của $(\alpha)$.
2 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình:
$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
Khai triển: $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$).
Các trường hợp đặc biệt:
| Đặc điểm mặt phẳng | Dạng phương trình |
|---|---|
| Đi qua gốc tọa độ $O$ | $Ax + By + Cz = 0$ ($D=0$) |
| Song song hoặc chứa trục $Ox$ | $By + Cz + D = 0$ ($A=0$) |
| Song song hoặc trùng mp $(Oxy)$ | $Cz + D = 0$ ($A=B=0$) |
3 3. Một số công thức liên quan
① Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Nếu $(\alpha)$ cắt $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ thì phương trình là:
$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$$
② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mp $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là:
$$d(M_0, P) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Các dạng bài tập
1 Viết phương trình mặt phẳng
- Xác định một điểm thuộc mặt phẳng.
- Xác định 1 vectơ pháp tuyến (trực tiếp hoặc qua tích có hướng).
- Dùng công thức $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Ví dụ minh họa
Trung điểm $I(1; 0; 2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 2) = -2(1; 1; -1)$. Chọn VPT $\vec{n} = (1; 1; -1)$.
PT: $1(x-1) + 1(y-0) - 1(z-2) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$.
2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Dựa vào hai VPT $\vec{n}_1(A_1; B_1; C_1)$ và $\vec{n}_2(A_2; B_2; C_2)$:
- Song song: $\vec{n}_1 = k\vec{n}_2$ và $D_1 \neq kD_2$.
- Cắt nhau: $\vec{n}_1$ không cùng phương $\vec{n}_2$.
- Vuông góc: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
Ví dụ minh họa
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay