Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Bài 3. Hàm số lượng giác
Nghiên cứu các thuộc tính quan trọng của hàm số sin, cos, tan, cot như tập xác định, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và cách đọc đồ thị.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết hàm số lượng giác
1 1. Tập xác định và tập giá trị
| Hàm số | Tập xác định ($D$) | Tập giá trị ($T$) |
|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1; 1]$ |
| $y = \cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1; 1]$ |
| $y = \tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\}$ | $\mathbb{R}$ |
| $y = \cot x$ | $\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$ | $\mathbb{R}$ |
2 2. Tính chẵn lẻ và tuần hoàn
- Tính chẵn lẻ: Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn (đối xứng qua $Oy$). Các hàm $y = \sin x, y = \tan x, y = \cot x$ là hàm số lẻ (đối xứng qua gốc $O$).
- Tính tuần hoàn:
- $\sin, \cos$ tuần hoàn với chu kỳ $T = 2\pi$.
- $\tan, \cot$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$.
- Tổng quát: $\sin(ax+b)$ có chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$.
3 3. Đồ thị hàm số lượng giác
- Đồ thị Sin: Một đường lượn sóng đi qua gốc tọa độ $O$.
- Đồ thị Cos: Giống đồ thị Sin nhưng dịch chuyển sang trái $\pi/2$.
- Đồ thị Tan: Gồm các nhánh rời nhau bởi các tiệm cận đứng $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Mẹo biến thiên: Hàm $\sin x$ và $\tan x$ đồng biến trên các khoảng 'dương' tương ứng, $\cos x$ nghịch biến trên $(0, \pi)$.
Các dạng bài tập
1 Tìm tập xác định
Phương pháp giải
Xác định mẫu số khác 0, biểu thức dưới căn bậc hai không âm, và điều kiện riêng của tan ($u \neq \pi/2 + k\pi$), cot ($u \neq k\pi$).
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tìm TXĐ của hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x - \cos x}$.
GIẢI
Hàm số xác định khi $\sin x \neq \cos x \iff \tan x \neq 1 \iff x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{4} + k\pi\}$.
VÍ DỤ 2
Tìm TXĐ của hàm số $y = \tan(2x)$.
GIẢI
$2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}\}$.
VÍ DỤ 3
Tìm TXĐ của hàm số $y = \sqrt{1 - \cos x}$.
GIẢI
Vì $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 1 - \cos x \ge 0$ với mọi $x$. Vậy $D = \mathbb{R}$.
2 Xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn
Phương pháp giải
Kiểm tra $f(-x)$, tìm số $T$ nhỏ nhất sao cho $f(x+T) = f(x)$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Xét tính chẵn lẻ của $y = x^2 \cos x$.
GIẢI
$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos x = f(x) \Rightarrow$ Hàm số chẵn.
VÍ DỤ 2
Tìm chu kỳ của hàm số $y = \sin(3x)$.
GIẢI
$T = \dfrac{2\pi}{|3|} = \dfrac{2\pi}{3}$.
VÍ DỤ 3
Xét tính chẵn lẻ của $y = \sin x + x$.
GIẢI
$f(-x) = \sin(-x) + (-x) = -\sin x - x = -f(x) \Rightarrow$ Hàm số lẻ.
3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Phương pháp giải
Sử dụng tính bị chặn $-1 \le \sin u, \cos u \le 1$ hoặc đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tìm GTLN, GTNN của $y = 3\sin x - 4$.
GIẢI
$-1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow -7 \le y \le -1$. GTLN = -1, GTNN = -7.
VÍ DỤ 2
Tìm GTLN của $y = \cos^2 x + 2\cos x + 1$.
GIẢI
$y = (\cos x + 1)^2$. Vì $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2 \Rightarrow 0 \le y \le 4$. GTLN = 4.
VÍ DỤ 3
Tìm GTNN của $y = |\sin x| + 2$.
GIẢI
Vì $0 \le |\sin x| \le 1 \Rightarrow 2 \le y \le 3$. GTNN = 2.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay