Bài 2. Công thức lượng giác
Hệ thống các công thức lượng giác quan trọng: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
Lý thuyết
1 1. Công thức cộng
- $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
- $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
- $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
- $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
- $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
- $\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
2 2. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Công thức nhân đôi
- $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
- $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
- $\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
Công thức hạ bậc
- $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$
- $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$
3 3. Công thức biến đổi
Biến đổi tích thành tổng
- $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$
- $\sin a \sin b = -\frac{1}{2}[\cos(a+b) - \cos(a-b)]$
- $\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$
Biến đổi tổng thành tích
- $\cos u + \cos v = 2\cos \frac{u+v}{2} \cos \frac{u-v}{2}$
- $\cos u - \cos v = -2\sin \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2}$
- $\sin u + \sin v = 2\sin \frac{u+v}{2} \cos \frac{u-v}{2}$
- $\sin u - \sin v = 2\cos \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2}$
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Áp dụng công thức cộng, nhân đôi để rút gọn biểu thức
Sử dụng các công thức cộng, công thức nhân đôi để khai triển biểu thức, sau đó rút gọn các hạng tử đồng dạng.
Ví dụ minh họa
$A = (\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}) - (\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3})$
$= 2\cos x \sin \frac{\pi}{3} = 2\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cos x$.
Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$ với $a = \frac{\pi}{8}$:
$B = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2 Dạng 2: Biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
Áp dụng trực tiếp các công thức biến đổi để đưa biểu thức về dạng mong muốn (thường là để giải phương trình hoặc chứng minh đẳng thức).
Ví dụ minh họa
$C = 2\cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2\cos 2x \cos x$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 2 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay