Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Bài 2. Công thức lượng giác
Nắm vững hệ thống các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích - tổng trong lượng giác.
🔴 Khó 90 phút
Hệ thống công thức lượng giác
1 1. Công thức cộng
Cho hai góc bất kỳ $a$ và $b$, ta có:
- $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
- $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
- $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
- $\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$
2 2. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Công thức nhân đôi:
- $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
- $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
- $\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
Công thức hạ bậc:
$\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}; \quad \cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$
3 3. Công thức biến đổi
Biến đổi tích thành tổng:
- $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$
- $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$
- $\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)]$
Biến đổi tổng thành tích:
- $\cos u + \cos v = 2\cos \dfrac{u+v}{2} \cos \dfrac{u-v}{2}$
- $\cos u - \cos v = -2\sin \dfrac{u+v}{2} \sin \dfrac{u-v}{2}$
- $\sin u + \sin v = 2\sin \dfrac{u+v}{2} \cos \dfrac{u-v}{2}$
- $\sin u - \sin v = 2\cos \dfrac{u+v}{2} \sin \dfrac{u-v}{2}$
Các dạng bài tập
1 Công thức cộng và nhân đôi
Phương pháp giải
Vận dụng linh hoạt công thức để khai triển hoặc thu gọn biểu thức. Đặc biệt lưu ý $\cos 2a$ có 3 dạng để lựa chọn phù hợp.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính giá trị của $\sin(15^\circ)$.
GIẢI
$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45 \cos 30 - \cos 45 \sin 30 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
VÍ DỤ 2
Cho $\cos x = 1/3$. Tính $\cos 2x$.
GIẢI
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(1/9) - 1 = -7/9$.
VÍ DỤ 3
Rút gọn $A = \sin x \cos x \cos 2x$.
GIẢI
$A = \dfrac{1}{2} \sin 2x \cos 2x = \dfrac{1}{4} \sin 4x$.
2 Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
Phương pháp giải
Áp dụng các công thức liên quan. Thường dùng để triệt tiêu các hạng tử trong một dãy tổng hoặc tích.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính $A = \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ$.
GIẢI
Sử dụng $\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.
$\cos 10 \cdot \dfrac{1}{2}(\cos 20 + \cos 120) = \dfrac{1}{2} \cos 10 \cos 20 - \dfrac{1}{4} \cos 10 = \dfrac{1}{4}(\cos 10 + \cos 30) - \dfrac{1}{4} \cos 10 = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
$\cos 10 \cdot \dfrac{1}{2}(\cos 20 + \cos 120) = \dfrac{1}{2} \cos 10 \cos 20 - \dfrac{1}{4} \cos 10 = \dfrac{1}{4}(\cos 10 + \cos 30) - \dfrac{1}{4} \cos 10 = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
VÍ DỤ 2
Rút gọn $B = \dfrac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x}$.
GIẢI
$B = \dfrac{2\sin 2x \cos x}{2\cos 2x \cos x} = \tan 2x$.
VÍ DỤ 3
Biến đổi biểu thức $D = \sin 5x \cos 3x$ thành tổng.
GIẢI
$D = \dfrac{1}{2}(\sin 2x + \sin 8x)$.
3 Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp giải
Thực hiện biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản bằng cách dùng các công thức lượng giác đã học.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Chứng minh rằng: $\dfrac{1 + \sin 2x}{\sin x + \cos x} = \sin x + \cos x$.
GIẢI
VT = $\dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x}{\sin x + \cos x} = \dfrac{(\sin x + \cos x)^2}{\sin x + \cos x} = \sin x + \cos x$ (đpcm).
VÍ DỤ 2
Chứng minh $\tan^2 x - \tan^2 y = \dfrac{\sin(x+y)\sin(x-y)}{\cos^2 x \cos^2 y}$.
GIẢI
VT = $\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \dfrac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \dfrac{\sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} = \dfrac{(\sin x \cos y - \cos x \sin y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)}{\cos^2 x \cos^2 y}$
= $\dfrac{\sin(x-y)\sin(x+y)}{\cos^2 x \cos^2 y}$ (đpcm).
= $\dfrac{\sin(x-y)\sin(x+y)}{\cos^2 x \cos^2 y}$ (đpcm).
VÍ DỤ 3
Chứng minh $\dfrac{\cos 2x}{1+\sin 2x} = \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$.
GIẢI
VT = $\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay