Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Nghiên cứu tính chất đồ thị và sự biến thiên của hai loại hàm số quan trọng nhất trong việc mô tả các quy luật tự nhiên như gia tăng dân số hay phân rã chất phóng xạ.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết hàm mũ và lôgarit
1 1. Hàm số mũ $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$)
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Tập giá trị: $(0; +\infty)$.
- Đạo hàm: $(a^x)' = a^x \ln a$; $(e^x)' = e^x$.
- Biến thiên: $a > 1$ (đồng biến), $0 < a < 1$ (nghịch biến).
- Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang.
2 2. Hàm số lôgarit $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$)
- Tập xác định: $D = (0; +\infty)$.
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
- Biến thiên: $a > 1$ (đồng biến), $0 < a < 1$ (nghịch biến).
- Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng.
3 3. Đồ thị và quan hệ đối xứng
Đồ thị hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất $y = x$.
Các dạng bài tập
1 Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp giải
Với hàm $\log_a f(x)$, điều kiện là $f(x) > 0$. Với hàm mũ $a^{g(x)}$, tập xác định phụ thuộc vào $g(x)$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tìm TXD của $y = \ln (x-2)$.
GIẢI
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
VÍ DỤ 2
Tìm TXD của $y = \log (3 - x^2)$.
GIẢI
$3 - x^2 > 0 \Rightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
VÍ DỤ 3
Tìm TXD của $y = 3^{\frac{1}{x}}$.
GIẢI
$x \neq 0$.
2 Tính đạo hàm hàm số mũ và logarit
Phương pháp giải
Áp dụng công thức cơ bản và hàm hợp:
$(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a$
$(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$
$(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a$
$(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính đạo hàm của $y = 3^{x^2}$.
GIẢI
$y' = (x^2)' \cdot 3^{x^2} \cdot \ln 3 = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$.
VÍ DỤ 2
Tính đạo hàm của $y = \ln (x^2 + 1)$.
GIẢI
$y' = \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
VÍ DỤ 3
Tính đạo hàm của $y = x \cdot e^x$.
GIẢI
$y' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1)$.
3 Khảo sát đồ thị và sự biến thiên
Phương pháp giải
Xét cơ số $a$ so với 1 để xác định xu hướng của đồ thị.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho các đồ thị $y=a^x, y=b^x, y=c^x$. Làm sao để so sánh $a, b, c$?
GIẢI
Kẻ đường đứng $x=1$ cắt các đồ thị tại $(1, a), (1, b), (1, c)$. Điểm nào cao hơn thì cơ số đó lớn hơn.
VÍ DỤ 2
Hàm số $y = \log_{1/2} x$ có tính chất gì?
GIẢI
Cơ số $1/2 < 1$ nên hàm nghịch biến, đi qua $(1, 0)$, nhận $Oy$ làm tiệm cận đứng.
VÍ DỤ 3
Giao điểm của đồ thị hàm mũ với trục tung.
GIẢI
Luôn là điểm $(0, 1)$ vì $a^0 = 1$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay