Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 19. Lôgarit
Lôgarit là phép toán ngược của lũy thừa, giúp chúng ta tìm số mũ khi biết cơ số và kết quả. Đây là công cụ đắc lực trong tính toán khoa học.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết Logarit
1 1. Định nghĩa và Điều kiện
Cho hai số dương $a, b$ với $a \neq 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^\alpha = b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$, kí hiệu $\log_a b$.
$\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^\alpha = b$
- Lưu ý: Cơ số $a$ phải dương và khác 1 ($0 < a \neq 1$). Biểu thức dưới dấu logarit phải dương ($b > 0$).
2 2. Các tính chất và quy tắc tính
- $\log_a 1 = 0, \log_a a = 1$.
- $\log_a a^b = b, a^{\log_a b} = b$.
- $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$.
- $\log_a (x / y) = \log_a x - \log_a y$.
- $\log_a x^n = n \log_a x$.
3 3. Đổi cơ số và Logarit đặc biệt
- Đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ ($b > 0, 0 < a, c \neq 1$).
- $\log_{a^n} b = \dfrac{1}{n} \log_a b$.
- $\log_{10} b$ ký hiệu là $\log b$ hoặc $\lg b$.
- $\log_e b$ ký hiệu là $\ln b$ ($e \approx 2,718$).
Các dạng bài tập
1 Tính giá trị biểu thức lôgarit
Phương pháp giải
Đưa các số về cùng cơ số dạng lũy thừa, sử dụng tính chất đưa số mũ ra ngoài dấu logarit.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính $A = \log_2 16$.
GIẢI
$\log_2 2^4 = 4$.
VÍ DỤ 2
Tính $B = \log_3 \dfrac{1}{27}$.
GIẢI
$\log_3 3^{-3} = -3$.
VÍ DỤ 3
Tính $C = \log_{\sqrt{2}} 8$.
GIẢI
$\log_{2^{1/2}} 2^3 = 3 / (1/2) = 6$.
2 Biểu diễn lôgarit qua các biến khác
Phương pháp giải
Phân tích số dưới dấu logarit ra các thừa số nguyên tố trùng với các số trong các biến đã cho.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 6$ theo $a$.
GIẢI
$\log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + a$.
VÍ DỤ 2
Cho $\log_2 5 = b$. Tính $\log_4 125$ theo $b$.
GIẢI
$\log_{2^2} 5^3 = 3/2 \log_2 5 = 1,5b$.
VÍ DỤ 3
Cho $\log 2 = a, \log 3 = b$. Tính $\log 12$.
GIẢI
$\log (2^2 \cdot 3) = 2\log 2 + \log 3 = 2a + b$.
3 Sử dụng công thức đổi cơ số
Phương pháp giải
Chuyển các logarit khác cơ số về cùng một cơ số thích hợp để rút gọn.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Rút gọn $P = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5$.
GIẢI
Dùng tính chất nối đuôi: $\log_2 4 \cdot \log_4 5 = \dots = \log_2 5$.
VÍ DỤ 2
Tính $\log_5 2$ biết $\log_2 5 = a$.
GIẢI
$\log_5 2 = 1 / \log_2 5 = 1/a$.
VÍ DỤ 3
Tính $\log_{12} 18$ theo $a = \log_2 3$.
GIẢI
$\dfrac{\log_2 18}{\log_2 12} = \dfrac{1 + 2a}{2 + a}$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay