Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực
Nâng tầm khái niệm lũy thừa từ những con số nguyên đơn giản lên các số thực bất kỳ, mở đường cho việc hiểu về sự tăng trưởng mũ.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết lũy thừa số mũ thực
1 1. Mở rộng khái niệm lũy thừa
- Số mũ nguyên âm: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (với $a \neq 0$).
- Số mũ hữu tỉ: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (với $a > 0$).
- Số mũ thực: Cho $a > 0$ và số thực $\alpha$. Lũy thừa $a^\alpha$ được xác định là giới hạn của dãy số $(a^{r_n})$ với $(r_n)$ là dãy số hữu tỉ tiến về $\alpha$.
2 2. Các tính chất quan trọng
Cho $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:
- $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
- $a^\alpha / a^\beta = a^{\alpha - \beta}$
- $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta}$
- $(ab)^\alpha = a^\alpha \cdot b^\alpha$
- $(a/b)^\alpha = a^\alpha / b^\alpha$
3 3. Quan hệ so sánh
- Nếu $a > 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta$.
- Nếu $0 < a < 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta$.
Các dạng bài tập
1 Rút gọn biểu thức lũy thừa
Phương pháp giải
Đưa các cơ số về cùng một cơ số (thường là số nguyên tố), chuyển các căn thức về dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ, sau đó áp dụng tính chất cộng/trừ số mũ.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Rút gọn $P = \dfrac{a^{\sqrt{3}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}}}{(a^{\sqrt{2}-1})^{\sqrt{2}+1}}$.
GIẢI
Tử: $a^{(\sqrt{3}+1) + (2-\sqrt{3})} = a^3$.
Mẫu: $a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = a^{2-1} = a^1$.
Vậy $P = a^3 / a^1 = a^2$.
Mẫu: $a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = a^{2-1} = a^1$.
Vậy $P = a^3 / a^1 = a^2$.
VÍ DỤ 2
Rút gọn $B = \sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$.
GIẢI
$B = x^{1/4} \cdot x^{2/12} \cdot x^{1/24} = x^{(6+4+1)/24} = x^{11/24}$.
VÍ DỤ 3
Cách rũ bỏ căn thức lồng nhau.
GIẢI
Biến đổi từ trong ra ngoài theo công thức $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
2 So sánh các giá trị lũy thừa
Phương pháp giải
Cách 1: Đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ.
Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số.
Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
So sánh $(\sqrt{2})^{\pi}$ và $(\sqrt{2})^{3,14}$.
GIẢI
Cơ số $\sqrt{2} > 1$, số mũ $\pi \approx 3,14159 > 3,14$. Vậy $(\sqrt{2})^{\pi} > $(\sqrt{2})^{3,14}$.
VÍ DỤ 2
So sánh $(\sqrt{3}-1)^{2023}$ và $(\sqrt{3}-1)^{2024}$.
GIẢI
Cơ số $\sqrt{3}-1 \approx 0,73 < 1$. Do $2023 < 2024$ nên $(\sqrt{3}-1)^{2023} > (\sqrt{3}-1)^{2024}$.
VÍ DỤ 3
So sánh các số khác cơ số và khác số mũ.
GIẢI
Tìm hằng số trung gian hoặc dùng tính chất hàm số.
3 Tính toán và biến đổi căn bậc n
Phương pháp giải
Áp dụng định nghĩa và các điều kiện có nghĩa của căn bậc n (n lẻ thì xác định với mọi x, n chẵn thì x không âm).
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính giá trị $\sqrt[3]{-27} + \sqrt[4]{16}$.
GIẢI
$-3 + 2 = -1$.
VÍ DỤ 2
Rút gọn $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{2/3} - \sqrt[3]{ab} + b^{2/3})$.
GIẢI
Đây là hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = a + b$.
VÍ DỤ 3
Điều kiện có nghĩa của $\sqrt[6]{x-2}$.
GIẢI
$x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay