Chương 5: Giới hạn – Hàm số liên tục
Bài 17. Hàm số liên tục
Tìm hiểu điều kiện để một hàm số không bị ngắt quãng, đảm bảo sự trơn tru của các quá trình vật lý và ứng dụng chứng minh nghiệm phương trình.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết hàm số liên tục
1 1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$. Hàm số được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
Nếu không thỏa mãn điều này, hàm số gọi là gián đoạn tại $x_0$.
2 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
- Hàm liên tục trên khoảng $(a, b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
- Hàm liên tục trên đoạn $[a, b]$ nếu nó liên tục trên $(a, b)$ và có:
$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
3 3. Định lý về giá trị trung gian
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì tồn tại ít nhất một số thực $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$.
Ý nghĩa: Đồ thị hàm số liên tục đi từ điểm âm sang điểm dương thì phải cắt trục hoành.
Các dạng bài tập
1 Xét tính liên tục tại một điểm
Phương pháp giải
Bước 1: Tính $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
Bước 3: So sánh. Nếu bằng nhau thì liên tục.
Bước 2: Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
Bước 3: So sánh. Nếu bằng nhau thì liên tục.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Xét tính liên tục của $f(x) = x^2$ tại $x=1$.
GIẢI
$f(1) = 1$. $\lim_{x \to 1} x^2 = 1$. Vì $1=1$ nên hàm liên tục tại $x=1$.
VÍ DỤ 2
Hàm $f(x) = 1/x$ có liên tục tại $x=0$ không?
GIẢI
Hàm không xác định tại $x=0$, nên không liên tục tại $x=0$.
VÍ DỤ 3
Tại sao hàm bậc nhất luôn liên tục trên $\mathbb{R}$?
GIẢI
Vì giới hạn tại mọi điểm bằng giá trị của hàm tại điểm đó.
2 Tìm tham số để hàm số liên tục
Phương pháp giải
Sử dụng điều kiện giới hạn bằng giá trị hàm hoặc giới hạn trái bằng giới hạn phải.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tìm $m$ để $f(x) = \begin{cases} x+m & \text{khi } x \ge 0 \ 2x+1 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$ liên tục tại $x=0$.
GIẢI
$f(0) = m$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = m, \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$. Để liên tục thì $m=1$.
VÍ DỤ 2
Tìm $a$ để $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \neq 1$ và $f(1)=a$ liên tục.
GIẢI
$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$. Vậy $a=2$.
VÍ DỤ 3
Giá trị của hàm tại điểm gián đoạn loại 1.
GIẢI
Có thể bổ sung giá trị để hàm trở nên liên tục tại đó.
3 Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải
Đặt $f(x)$ là vế trái. Tìm hai giá trị $a, b$ sao cho $f(a) \cdot f(b) < 0$. Chỉ rõ hàm liên tục trên $[a, b]$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Chứng minh $x^3 + x - 1 = 0$ có nghiệm trong $(0; 1)$.
GIẢI
$f(x) = x^3 + x - 1$ liên tục trên $[0; 1]$. $f(0) = -1, f(1) = 1$. Có $f(0)f(1) < 0$ nên có nghiệm.
VÍ DỤ 2
Chứng minh phương trình bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực.
GIẢI
Do $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, đồ thị phải cắt trục hoành.
VÍ DỤ 3
Phương trình có nghiệm hay không?
GIẢI
Dùng tính chất liên tục và xét dấu ở hai đầu mút.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay