Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Nắm vững khái niệm góc lượng giác, đơn vị radian, đường tròn lượng giác và các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

🟡 Trung bình 90 phút

Lý thuyết góc và giá trị lượng giác

1 1. Góc lượng giác và đơn vị đo

Góc lượng giác được tạo ra khi một tia quay quanh gốc của nó. Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Đơn vị độ và Radian:

$$180^\circ = \pi \text{ rad} \Rightarrow 1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$$

Độ dài cung tròn:

Cung của đường tròn bán kính $R$ có số đo $\alpha$ (radian) thì có độ dài: $$l = R \cdot \alpha$$

2 2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Trên đường tròn lượng giác (tâm $O$, bán kính $R=1$), điểm $M(x;y)$ ứng với góc $\alpha$ có:

$\cos \alpha = x$ (trục hoành là trục cos)
$\sin \alpha = y$ (trục tung là trục sin)
$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} (x \neq 0)$
$\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} (y \neq 0)$

Ghi nhớ dấu: Nhất cả (I: +,+,+,+), Nhì sin (II: sin+), Tam tan (III: tan, cot +), Tứ cos (IV: cos+).

3 3. Các hệ thức lượng giác cơ bản

Các công thức cần thuộc lòng:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
$1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$
$1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$

Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Khác pi tan.

Các dạng bài tập

1 Đổi đơn vị đo góc và độ dài cung

Phương pháp giải

Đổi Độ $\to$ Radian: Nhân với $\pi/180$.
Đổi Radian $\to$ Độ: Nhân với $180/\pi$.
Tính $l = R \cdot \alpha$ (Lưu ý $\alpha$ phải ở đơn vị Radian).

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Tính cụ thể độ dài cung của đường tròn bán kính $10$cm có số đo $30^\circ$.

GIẢI

$\alpha = 30 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6}$. Độ dài cung $l = 10 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{3} \approx 5,24$ cm.

VÍ DỤ 2

Đổi góc $\dfrac{3\pi}{4}$ sang độ.

GIẢI

$\dfrac{3\pi}{4} \text{ rad} = \dfrac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

VÍ DỤ 3

Một bánh xe quay $2$ vòng. Tính quãng đường xe đi được nếu bán kính bánh xe là $30$cm.

GIẢI

Một vòng là $2\pi$ rad. Hai vòng là $4\pi$ rad. Quãng đường $s = l = 30 \cdot 4\pi = 120\pi \approx 377$ cm.

2 Tính giá trị lượng giác của một góc

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức $\sin^2 + \cos^2 = 1$ để tìm giá trị còn lại (lưu ý dấu của góc phần tư).
Tính tan, cot dựa vào sin, cos.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho $\cos \alpha = -4/5$ với $\pi < \alpha < 3\pi/2$. Tính $\sin \alpha$.

GIẢI

Góc phần tư III nên $\sin \alpha < 0$. $\sin^2 \alpha = 1 - (-4/5)^2 = 9/25 \Rightarrow \sin \alpha = -3/5$.

VÍ DỤ 2

Cho $\tan \alpha = 2$. Tính $A = \sin^2 \alpha - 3\cos^2 \alpha$.

GIẢI

Chia cả hai vế cho $\cos^2 \alpha$: $A = \cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha - 3) = \dfrac{\tan^2 \alpha - 3}{1 + \tan^2 \alpha} = \dfrac{4-3}{1+4} = \dfrac{1}{5}$.

VÍ DỤ 3

Tính giá trị của $\cos(150^\circ)$.

GIẢI

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\sqrt{3}/2$.