Lý thuyết Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

A. Lý thuyết Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

1. Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

– Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x: $x^n=x.x.\mathrm{\dots }\text{ .x}⏟n\text{ thua\hspace{0.17em}so x}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Số x được gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

– Quy ước x¹ = x.

Chú ý:

 xⁿ đọc là “x mũ n” hoặc “x lũy thừa n” hoặc “lũy thừa bậc n của x”.

x² còn được gọi là “x bình phương” hay “bình phương của x”.

x³ còn gọi là “x lập phương” hay “lập phương của x”.

Ví dụ:

a) $\frac{-2}{3}\cdot \frac{-2}{3}\cdot \frac{-2}{3}\cdot \frac{-2}{3}={\left(\frac{-2}{3}\right)}^4$

b) (0,2) . (0,2) . (0,2) = (0,2)³

Chú ý: Để viết lũy thừa bậc n của phân số $\frac{a}{b}$ , ta phải viết $\frac{a}{b}$  trong dấu ngoặc ( ), tức là ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ .

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

– Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:   

x^m . xⁿ = x^m+n $\left(m,n\in \mathbb{N}\right)$

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia :

x^m : xⁿ = x^{m – n} $(x\ne 0;\text{ m}\ge \text{n; m,n}\in \mathbb{N})$

– Quy ước x⁰ = 1 (x ≠ 0).

Ví dụ:

a) ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^2\cdot {\left(\frac{-2}{3}\right)}^3={\left(\frac{-2}{3}\right)}^{2+3}={\left(\frac{-2}{3}\right)}^5$

b) (–0,5)⁴ : (–0,5)⁴ = (–0,5)^{4 – 4} = (–0,5)⁰ = 1.

3. Lũy thừa của một lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: ${\left(x^m\right)}^n=x^{m.n}\text{ (m,n}\in \mathbb{N})$

Ví dụ:  ${\left[{\left(\frac{1}{-2}\right)}^3\right]}^5={\left(\frac{1}{-2}\right)}^{3.5}={\left(\frac{1}{-2}\right)}^{15}$ .

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Viết mỗi tích sau dưới dạng lũy thừa

a) $\left(-\frac{5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)$ ;

b) (–2,3) . ( –2,3) . (–2,3) . (–2,3) . (–2,3).

Hướng dẫn giải

a) $\left(-\frac{5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)$= $\left(\frac{-5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)$

Ta thấy có ba thừa số $\frac{-5}{4}$  nên ta có $\left(\frac{-5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)\cdot \left(\frac{-5}{4}\right)={\left(\frac{-5}{4}\right)}^3$ .

b) Ta thấy có năm thừa số (–2,3) nên ta có (–2,3) . ( –2,3) . (–2,3). (–2,3). (–2,3) = (–2,3)⁵.

Bài 2. Cho x là một số hữu tỉ. Viết x¹² dưới dạng

a) Lũy thừa của x²

b) Lũy thừa của x³

Hướng dẫn giải

a) Do 12 = 2.6 nên  x¹² = x^2.6 = (x²)⁶.

b) Do 12 = 3.4 nên x¹² = x^3.4 = (x³)⁴.

Bài 3. So sánh

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot \left(\frac{2}{3}\right)$  và ${\left(\frac{2}{3}\right)}^4$  ;

b) ${\left(0,1\right)}^{10}:{\left(0,1\right)}^4$  và ${\left[{\left(0,1\right)}^2\right]}^3$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có : ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot \left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^1={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3+1}={\left(\frac{2}{3}\right)}^4$ . Vậy  =

b) Ta có: ${\left(0,1\right)}^{10}:{\left(0,1\right)}^4={\left(0,1\right)}^{10-4}={\left(0,1\right)}^6$  và ${\left[{\left(0,1\right)}^2\right]}^3={\left(0,1\right)}^{2.3}={\left(0,1\right)}^6$

Vậy ${\left(0,1\right)}^{10}:{\left(0,1\right)}^4$  = ${\left[{\left(0,1\right)}^2\right]}^3$ .

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. So sánh $\frac{{\left(-2\right)}^2}{9^2}$  và ${\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2.$

A. $\frac{{\left(-\text{ 2}\right)}^2}{9^2}\text{ > }{\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2;$

B. $\frac{{\left(-\text{ 2}\right)}^2}{9^2}\text{ < }{\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2;$

C. $\frac{{\left(-\text{ 2}\right)}^2}{9^2}\text{ = }{\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2;$

D. $\frac{{\left(-\text{ 2}\right)}^2}{9^2}\le {\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Ta có: ${\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2\text{ = }\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right).\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)=\frac{\left(-\text{ 2}\right)\text{ . }\left(-\text{ 2}\right)}{9\text{ . 9}}\text{ = }\frac{{\left(-\text{ 2}\right)}^2}{9^2}.$

Vậy $\frac{{\left(-\text{ 2}\right)}^2}{9^2}\text{ = }{\left(\frac{-\text{ 2}}{9}\right)}^2.$

Câu 2. Tìm x, biết: x . (3,7)² = (3,7)⁷.

A. x = (3,7)¹⁴;

B. x = (3,7)⁹;

C. x = (3,7)⁵;

D. x = (3,7)⁶.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Ta có: x . (3,7)² = (3,7)⁷

x = (3,7)⁷ : (3,7)²

x = (3,7)^{7 − 2}

x = (3,7)⁵.

Vậy x = (3,7)⁵.

Câu 3. Cho x là số hữu tỉ, x¹⁵ biểu diễn dưới dạng lũy thừa của x³ được viết là:

A. (x³)⁶;

B. (x³)¹²;

C. (x³)⁵;

D. (x³)¹⁵.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

Do đó, để x¹⁵ biểu diễn dưới dạng lũy thừa của x³ ta phân tích 15 thành 3 nhân với một số.

Mà 15 = 3 . 5; suy ra x¹⁵ = x^{3 . 5} = (x³)⁵.

Vậy x¹⁵ biểu diễn dưới dạng lũy thừa của x³ được viết là: (x³)⁵.

====== ****&**** =====