Số gần đúng và sai số

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số

Giải Toán 10 trang 73 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 73 Toán lớp 10: Đỉnh Everest được mệnh danh là “nóc nhà của thế giới”, bởi đây là đỉnh núi cao nhất trên Trái Đất so với mực nước biển. Có rất nhiều con số khác nhau đã từng được công bố về chiều cao của đỉnh Everest: 8 848 m;8 848,13m;8 844.43 m;8 850 m:… Vì sao lại có nhiều kết quả khác nhau như vậy và đâu là con số chính xác?

Lời giải:

Khi đo độ cao đỉnh núi Everest người ta không thể đo trực tiếp một cách chính xác mà phải thông qua tính toán.

Mỗi vị trí quan sát hoặc trong tính toán, có những con số không thể lấy chính xác đo đó kết quả thu được cũng không giống nhau.

Ngoài ra có thể người ta đã làm tròn kết quả để được một con số gọn mà chính xác nhất có thể, nên các kết quả cũng khác nhau.

1. Số gần đúng

Giải Toán 10 trang 74 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 74 Toán lớp 10: Ngày 8-12-2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8 848,86 m.

(Theo Tuoitre.vn)

Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần nhất với số được công bố ở trên?

Phương pháp giải:

Lấy 8 848,86 trừ đi các số xuất hiện ở tình huống mở đầu và so sánh các giá trị tuyệt đối của các hiệu vừa tìm được.

Lời giải:

Ta có: $\left|8848,86-8848\right|=0,86$

$\left|8848,86-8848,13\right|=0,73$

$\left|8848,86-8844,43\right|=4,43$

$\left|8848,86-8850\right|=1,14$

Trong các số 0,86; 0,73; 4,43; 1,14 thì số 0,73 là số nhỏ nhất.

Do đó trong các số 8 848 m; 8 848,13 m; 8 844,43 m; 8 850 m thì số ; 8 848,13 m là số gần nhất với số được công bố ngày 8-12-2020.

Chú ý

Giá trị tuyệt đối |a-b| càng nhỏ thì a và b càng gần nhau.

HĐ2 trang 74 Toán lớp 10:

Trang và Hoà thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đồng có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. 

Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.

Phương pháp giải:

Đọc các số xuất hiện tại vạch nước ở mỗi ống.

Lời giải:

Giả sử ống nước thứ nhất là trang đo và ống nước thứ hai là Hòa đo.

 

Khi đó ống thứ nhất đo được là 13$c{m}^3$, ống thứ hai là 13,1$c{m}^3$

Chú ý

Với ống thứ hai thì có vạch chia nhỏ hơn.

Câu hỏi trang 74 Toán lớp 10:

Hãy lấy một ví dụ về số gần đúng.

Phương pháp giải:

Số gần đúng là số mà ta khó có thể biết được giá trị chính xác của nó mà chỉ tìm được giá trị xấp xỉ của nó mà thôi.

Lời giải:

Ta không thể biết chính xác giá trị của $\sqrt{3}$.

Số gần đúng của $\sqrt{3}$ là 1,73.

Chú ý

Ta có thể lấy các số khác như $\sqrt{2};\sqrt{p}$ với p là số nguyên tố hoặc số $\pi$.

Luyện tập 1 trang 74 Toán lớp 10: Gọi P là chu vi của đường tròn bán kính 1cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của P.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn $P=2\pi R$ với R là bán kính của đường tròn đó.

Cách bấm máy tính tìm $\pi$:

Lời giải:

Chu vi đường tròn là:

$P=2\pi R=2\pi .1=2\pi \left(cm\right)$

Bấm máy tính ta thấy $2\pi \approx 6,28$

Vậy $P\approx 6,28cm$.

Chú ý

Ta có thể lấy số gần đúng khác của $2\pi$ như: 6,283 hoặc 6,283185

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

HĐ3 trang 74 Toán lớp 10:

 

Trong HĐ2, Hòa dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu $\overline{a}$($c{m}^3$) là số đo thể tích của nước.

Quan sát hình vẽ để so sánh $\left|13-\overline{a}\right|$ và $\left|13,1-\overline{a}\right|$ rồi cho biết trong hai số đo thể tích $13c{m}^3$  và $13,1c{m}^3$, số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ 5.2 và kiểm tra giữa hai số 13,1 và 13, số nào gần $\overline{a}$ hơn.

Lời giải:

Ta quan sát hình trên thì thấy số 13,1 gần $\overline{a}$ hơn.

Giải Toán 10 trang 75 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 75 Toán lớp 10: Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là $5\pm 0,3\mu m$. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?

Ta viết $\overline{a}=a\pm d$ thì có nghĩa là số đúng $\overline{a}$ nằm trong đoạn $\left[a-d;a+d\right]$.

Với a là số gần đúng của $\overline{a}$ và d là độ chính xác của $\overline{a}$.

Lời giải:

Gọi $\overline{a}$ là đường kính thực của nhân tế bào.

Vì phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là $5\pm 0,3\mu m$.

=> $a=5\mu m;d=0,3\mu m$

Nên ta có $\overline{a}$ nằm trong đoạn $\left[5-0,3;5+0,3\right]$ hay $\left[4,7;5,3\right]$.

HĐ4 trang 75 Toán lớp 10:

 

Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng chính

xác là 20 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là $20\pm 0,5$ kg.

Khẳng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là đúng hay sai?

Lời giải:

Mặc dù độ chính xác của khối lượng bao gạo đóng bằng dây chuyền A nhỏ hơn nhưng do bao gạo đóng bằng dây chuyền B nặng hơn nhiều nên ta không dựa vào sai số tuyệt đối để so sánh.

Do đó câu hỏi này ta chưa thể trả lời chính xác được nếu chỉ dựa vào các kiến thức đã học trước đó.

Xem thêm bài Luyện tập 3 trang 76 Sách giáo khoa Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải Toán 10 trang 76 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 76 Toán lớp 10: Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn?

Phương pháp giải:

– Đánh giá sai số tương đối: ${\delta }_a\le \frac{d}{\left|a\right|}$

Với d là độ chính xác và a là số gần đúng.

– Nhận xét dây chuyền nào tốt hơn: $\frac{d}{\left|a\right|}$ càng nhỏ thì chất lượng phép đo hay tính toán càng cao.

Lời giải:

Xét dây chuyền A: ta có d=0,2;  a=5.

${\delta }_5\le \frac{0,2}{\left|5\right|}=0,04=4\mathrm{\%}$

Xét dây chuyền B: ta có d=0,5; a=20

${\delta }_5\le \frac{0,5}{\left|20\right|}=0,025=2,5\mathrm{\%}$

Ta thấy $2,5\mathrm{\%}<4\mathrm{\%}$ nên dây chuyền B tốt hơn.

Chú ý

Có thể không cần đổi sang đơn vị phần trăm (%) để so sánh.

3. Quy tròn số gần đúng

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 77 Toán lớp 10: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) $11251900\pm 300$

b) $18,2857\pm 0,01$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hàng làm tròn.

Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu làm tròn số a mà không nói rõ

làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số a đến hàng thấp nhất mà ở nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Bước 2: Làm tròn:

Đối với chữ số hàng làm tròn:

– Giữ nguyên nểu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;

– Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn

hoặc bằng 5.

Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

– Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

– Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Lời giải:

a)

Bước 1: 

Vì độ chính xác đến hàng trăm (d=300) nên hàng làm tròn là hàng nghìn. Chữ số hàng làm tròn là 1.

Bước 2:

Vì số bên phải số 1 là số 9>5 nên ta tăng số 1 thêm 1 đơn vị.

Vậy số quy tròn của $11251900$ là $11252000$

b)

Vì độ chính xác đến hàng phần trăm (d=0,01) nên hàng làm tròn là hàng phần chục. Chữ số hàng làm tròn là 2.

Vì số bên phải số 2 là số 8>5 nên ta tăng 2 thêm 1 đơn vị và bỏ các số sau số 2.

Vậy số quy tròn của $18,2857$ là $18,3$.

Vận dụng trang 77 Toán lớp 10: Các nhà vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả là: 13,807 $\pm$ 0,026 và 13,799 $\pm$ 0,021.

Hãy đánh giá sai số tương đối của mối phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?

Phương pháp giải:

– Đánh giá sai số tương đối: ${\delta }_a\le \frac{d}{\left|a\right|}$

Với d là độ chính xác và a là số gần đúng.

– Nhận xét phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn: $\frac{d}{\left|a\right|}$ càng nhỏ thì chất lượng phép đo hay tính toán càng cao.

Lời giải:

Xét phương pháp 1: ta có d=0,026(tỉ năm);  a=13,807 (tỉ năm)

${\delta }_5\le \frac{0,026}{\left|13,807\right|}\approx 1,{88.10}^{-3}=0,00188$

Xét phương pháp 2: ta có d=0,021(tỉ năm);  a=13,799 (tỉ năm)

${\delta }_5\le \frac{0,021}{\left|13,799\right|}\approx 1,{52.10}^{-3}=0,00152$

Ta thấy $0,00188>0,00152$ nên phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.

Bài tập

Bài 5.1 trang 77 Toán lớp 10: Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2kg

b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

Phương pháp giải:

Các con số thu thập được nhờ đo đạc đều là các số gần đúng.

Lời giải:

a) Khi cân một túi gạo thì ta kết quả là một số gần đúng vì đây là một cách đo đạc.

b) Ta không biết chính xác bán kính Trái Đất nên 6 371 cũng là số gần đúng.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày cũng là số gần đúng.

Bài 5.2 trang 77 Toán lớp 10: Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1 235 +5 m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Phương pháp giải:

– Giải thích: Chỉ ra số độ cao gần đúng và độ chính xác

– Làm tròn số gần đúng:

Bước 1: Xác định hàng làm tròn.

Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu làm tròn số a mà không nói rõ

làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số a đến hàng thấp nhất mà ở nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Bước 2: Làm tròn:

Đối với chữ số hàng làm tròn:

– Giữ nguyên nểu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;

– Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn

hoặc bằng 5.

Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

– Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

– Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Lời giải:

– Giải thích: “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1 235 $\pm$5 m” có nghĩa là

Độ cao của ngọn núi gần với 1235m và độ chính xác là 5m

Bài 5.3 trang 77 Toán lớp 10: Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $73$ với độ chính xác 0.0005.

Phương pháp giải:

Làm tròn số gần đúng:

Bước 1: Xác định hàng làm tròn.

Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu làm tròn số a mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số a đến hàng thấp nhất mà ở nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Bước 2: Làm tròn:

Đối với chữ số hàng làm tròn:

– Giữ nguyên nểu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;

– Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn

hoặc bằng 5.

Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

– Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

– Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Lời giải:

 

Ta được

 

Ta chọn số gần đúng là 1,912931183.

Độ chính xác d=0.0005 nên ta có hàng làm tròn là hàng phần nghìn.

Số ở hàng phần nghìn là số 2, số bên phải là số 9>5 nên ta tăng 2 thêm 1 đơn vị và được số quy tròn của 1,912931183 là 1,913

Bài 5.4 trang 77 Toán lớp 10: Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

67,31 $\pm$0,96;

67,90 $\pm$0,55;

67,74 $\pm$0,46.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Phương pháp giải:

Đánh giá sai số tương đối của 3 phương pháp.

– Đánh giá sai số tương đối: ${\delta }_a\le \frac{d}{\left|a\right|}$

Với d là độ chính xác và a là số gần đúng.

– Nhận xét phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn: $\frac{d}{\left|a\right|}$ càng nhỏ thì chất lượng phép đo hay tính toán càng cao.

Lời giải:

Phương pháp 1: 67,31 $\pm$0,96

$a=67,31;d=0,96$

Sai số tương đối ${\delta }_1\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,96}{67,31}\approx 0,014$

Phương pháp 2: 67,90 $\pm$0,55

$a=67,90;d=0,55$

Sai số tương đối ${\delta }_2\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,55}{67,90}\approx 8,{1.10}^{-3}=0,0081$

Phương pháp 1: 67,74 $\pm$0,46

$a=67,74;d=0,46$

Sai số tương đối ${\delta }_3\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,46}{67,74}\approx 6,{8.10}^{-3}=0,0068$

Ta thấy $0,14>0,0081>0,0068$

=> phương pháp 3 có chính xác nhất.

Bài 5.5 trang 77 Toán lớp 10: An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:

Kết quả của An: $S_1=2\pi R\approx 2.3,14.2=12,56$cm;

Kết quả của Bình: $S_2=2\pi R\approx 2.3,1.2=12,4$cm.

Hỏi:

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

Phương pháp giải: 

a) Chu vi của đường tròn luôn là số gần đúng.

b) Đánh giá sai số tuyệt đối

Lời giải:

a) Vì công thức chu vi đường tròn là $2\pi R$ với R là độ dài bán kính, trong đó $\pi$ là số không thể tính chính xác được mà chỉ có thể lấy số gần đúng nên hai giá trị tính được là số gần đúng.

b)

Kết quả của An: $S_1=2\pi R\approx 2.3,14.2=12,56$ cm:

Kết quả của Bình: $S_2=2\pi R\approx 2.3,1.2=12,4$cm.

Ta thấy $3,14<3,1=>S_1<S_2$

$=>\left|2\pi R-S_1\right|>\left|2\pi R-S_2\right|$

=> Kết quả của An chính xác hơn.

Bài 5.6 trang 77 Toán lớp 10: Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Phương pháp giải:

* Làm tròn số gần đúng:

Bước 1: Xác định hàng làm tròn.

Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu làm tròn số a mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số a đến hàng thấp nhất mà ở nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Bước 2: Làm tròn:

Đối với chữ số hàng làm tròn:

– Giữ nguyên nểu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;

– Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn

hoặc bằng 5.

Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

– Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

– Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

* Tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Lời giải:

– Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục

Số làm tròn là số 1, số bên phải số 1 là số 6>5

=> Tăng thêm 1 đơn vị

=> Số quy tròn là: 8 320

Sai số tuyệt đối: $\left|8320-8316,4\right|=3,6$

– Làm tròn số 9,754 đến hàng phần trăm

Số làm tròn là số 5, số bên phải số 5 là số 4<5

=> Giữ nguyên 5 và bỏ các số bên phải đi.

=> Số quy tròn là: 9,75

Sai số tuyệt đối: $\left|9,754-9,75\right|=0,004$

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 13: Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế

Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Bài tập cuối chương 5

====== ****&**** =====