Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Câu hỏi:

Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Trả lời:

Gọi C là giao điểm của AD và BE.Tam giác ABC có:      $\angle$A = ${60}^0$ (vì ΔADM đều)       $\angle$B = ${60}^0$ ( vì ΔBEM đều)Nên $\angle$C = ${180}^0$ – $\angle$A – $\angle$B = ${60}^0$Suy ra: $∆$ABC đều hay AB = AC = BCSuy ra điểm C cố định.Lại có: $\angle$A = $\angle$(EMB ) = ${60}^0$ME // AC ( vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)Hay ME // CD.Do $\angle$DMA = $\angle$BEM = ${60}^0$ ( hai tam giác AMD và BME là tam giác đều )Suy ra: MD // BC ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau ).hay MD // ECsuy ra tứ giác CDME là hình bình hành.I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CMKẻ CH ⊥ AB,IK ⊥ AB⇒IK // CHTrong $∆$CHM,ta có:CI = IM và IK // CHSuy ra IK là đường trung bình của ΔCHM⇒IK = 1/2 CHVì C cố định nên CH không đổi ⇒ IK = 1/2 CH không đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng 1/2 CHKhi M trùng với A thì I trùng với trung điểm P của AC.Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ ( P là trung điểm AC, Q là trung điểm BC).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đoạn thẳng AB, kẻ tia Ax bất kỳ, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C, D kẻ đường thẳng song song với BE. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phân bằng nhau.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đoạn thẳng AB, kẻ tia Ax bất kỳ, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C, D kẻ đường thẳng song song với BE. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phân bằng nhau.

   Trả lời:

   Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N.Ta có: AC = CD = DE (gt)CM // DN // BETheo tính chất đường thẳng song song cách đều, ta có:AM = MN = NB

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào?

   Trả lời:

   Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B nên BA = BCKẻ CH ⊥ OxXét hai tam giác vuông AOB và CHB, ta có:$\angle$(AOB) = $\angle$(CHB ) = ${90}^0$BA = BC ( chứng minh trên)$\angle$(ABO ) = $\angle$(CBH) ( đối đỉnh)Suy ra $∆$AOB = $∆$CHB ( cạnh huyền, góc nhọn)⇒ CH = AOVì A, O cố định nên OA không đổi suy ra CH không đổiVì C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên C chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng bằng OA.Khi B trùng O thì C trùng với điểm K đối xứng với A qua điểm O.Vậy C chuyển động trên tia Kz // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?

   Trả lời:

   Kẻ AH ⊥ BC,IK ⊥ BC ⇒ AH // IKTrong $∆$AHM, ta có:AI = IM (gt)IK // AH ( chứng minh trên)Suy ra IK là đường trung bình của $∆$AHM⇒ IK = 1/2 AH$∆$ABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = 1/2 AH không đổi.I thay đổi cách BC một khoảng bằng AH/2 không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng AH/2Khi M trùng với điểm B thì I trùng với điểm P là trung điểm của AB.Khi M trùng với điểm C thì I trùng với điểm Q là trung điểm của AC.Vậy khi M di chuyển trên cạnh BC của $∆$ABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của $∆$ABC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. GỌi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. So sánh độ dài AM, DE.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. GỌi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. So sánh độ dài AM, DE.

   Trả lời:

   Xét tứ giác ADME, ta có:$\angle$A = ${90}^0$ (gt)MD ⊥ AB (gt)⇒ $\angle$(MDA ) = ${90}^0$ME ⊥ AC (gt)⇒ $\angle$(MEA ) = ${90}^0$Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)⇒ AM = DE ( tính chất hình chữ nhật)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. GỌi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. GỌi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất

   Trả lời:

   Ta có: AH ⊥ BC nên AM $\ge$ AH (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)Dấu “=” xảy ra khi M trùng với HMà DE = AM ( chứng minh trên)Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====