Lý thuyết Toán 12 Chương 6 (Chân trời sáng tạo): Xác suất có điều kiện

Lý thuyết Toán 12 Chương 6: Xác suất có điều kiện

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 6: Xác suất có điều kiện

1. Xác suất có điều kiện

1.1. Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A, kí hiệu P(B | A).

1.2. Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho A và B là hai biến cố, trong đó P(B) > 0. Khi đó

                                      $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$.

Chú ý 1:

a) Ta cũng kí hiệu biến cố giao của hai biến cố A và B là AB.

b) Trong thực tế, người ta thường dùng tỉ lệ phần trăm để mô tả xác suất. Chẳng hạn, phát biểu “Khả năng xảy ra một sự kiện là 20%” cũng có nghĩa là “Xác suất xảy ra sự kiện đó là 0,2”, phát biểu “Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5%” cũng có nghĩa là “Nếu chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng, xác suất sản phẩm đó là phế phẩm là 0,05”.

Chú ý 2:

a) Từ công thức xác suất có điều kiện, với P(B) > 0, ta có P(AB) = P(B) P(A | B).

b) Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được rằng với A, B là hai biến cố bất kì thì

P(AB) = P(B) P(A | B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố.

Chú ý 3:

a) Với mọi biến cố A và B, trong đó P(B) > 0, ta có

                                    P($\overline{A}$ | B) = 1 – P(A | B).

b) Với A và B là hai biến cố độc lập, trong đó 0 < P(B) < 1, người ta chứng minh được rằng

                                    P(A | B) = P(A | $\overline{B}$ ) = P(A).

Từ đẳng thức trên, ta thấy khi A và B độc lập thì việc biến cố B xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A.

2. Sơ đồ hình cây

Nhận xét: Trên sơ đồ hình cây:

+ Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện.  

+ Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quả đó.

3. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó

                       P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$)

gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố B bất kì.

4. Công thức Bayes

Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó,

                        $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}$.

gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì.

b) Với P(A) > 0, công thức P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$ cũng được gọi là công thức Bayes.

B. Bài tập Toán 12 Chương 6: Xác suất có điều kiện

B.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Một bình đựng 13 viên bi xanh và 17 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi, mỗi lần lấy 1 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để viên bi thứ hai màu xanh nếu biết viên bi thứ nhất màu đỏ.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Viên bi thứ nhất là màu đỏ”.

Biến cố B: “Viên bi thứ hai là màu xanh”.

Ta cần tính P(B | A).

Từ giả thiết, ta có $P\left(A\right)=\frac{17}{30}$; $P\left(AB\right)=\frac{17}{30}\cdot \frac{13}{29}=\frac{221}{870}$.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{221}{870}:\frac{17}{30}=\frac{13}{29}$.

Vậy xác suất để viên bi thứ hai màu xanh nếu biết viên bi thứ nhất màu đỏ bằng $\frac{13}{29}$.

Bài 2. Mỗi bạn học sinh trong lớp của Linh lựa chọn tham gia một trong hai câu lạc bộ thể thao là bóng đá và bóng chuyền. Xác suất chọn bóng đá của mỗi bạn học sinh nữ là 0,4 và của mỗi bạn học sinh nam là 0,8. Lớp của Linh có 15 bạn nữ và 25 bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên một bạn trong lớp.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

A: “Bạn được chọn là nam và tham gia câu lạc bộ bóng chuyền”;

B: “Bạn được chọn là nữ và tham gia câu lạc bộ bóng đá”.

Hướng dẫn giải

Ta có sơ đồ hình cây của bài toán trên như sau:

Theo sơ đồ hình cây, ta có P(A) = 0,125 và P(B) = 0,15.

Bài 3. Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi trong lô hàng M phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo trong lô hàng đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 97% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 96% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo sơ mi trong lô hàng M. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ nhất”; B là biến cố “Chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai”; C là biến cố “Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn”.

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai, biết rằng đã qua lần kiểm tra thứ nhất, là xác suất có điều kiện P(B | A) và P(C) = P(BA).

Ta có: P(B | A) = 0,96; P(A) = 0,97.

Suy ra P(C) = P(BA) = P(A) ∙ P(B | A) = 0,97 ∙ 0,96 = 0,9312.

Vậy xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là 0,9312.

Bài 4. Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Viên bi lấy ra là màu đỏ”.

Biến cố B: “Viên bi lấy ra được đánh số”.

Ta cần tính P(B).

Theo đề ta có: $P\left(A\right)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{3}{8}$;

Ta có $P\left(B|A\right)=0,6$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,5$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:$P\left(B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)$$=\frac{5}{8}\cdot 0,6+\frac{3}{8}\cdot 0,5=\frac{9}{16}$ = 0,5625.

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là 0,5625

Bài 5. Tỉ lệ người dân đã tiêm phòng vaccine phòng bệnh A ở một địa phương là 75%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 4%; trong số những người chưa tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 18%. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó.

a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A.

b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A. Tính xác suất người đó chưa tiêm vaccine phòng bệnh A.

Hướng dẫn giải

a) Gọi B là biến cố “Người được chọn đã tiêm phòng”, khi đó $\overline{B}$ là biến cố “Người được chọn chưa tiêm phòng”.

Ta có P(B) = 0,75 và P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,75 = 0,25.

Gọi H là biến cố “Người được chọn mắc bệnh A”.

Ta có P(H | B) = 0,04 và P(H | $\overline{B}$) = 0,18.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(H) = P(B) ∙ P(H | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(H | $\overline{B}$) = 0,75 ∙ 0,04 + 0,25 ∙ 0,18 = 0,075.

b) Ta cần tính P($\overline{B}$|H). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

                    $P\left(\overline{B}|H\right)=\frac{P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(H|\overline{B}\right)}{P\left(H\right)}=\frac{0,25\cdot 0,18}{0,075}=0,6$.

Bài 6. Một công ty có 60% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 8% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty.

a) Tính xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ.

b) Biết rằng nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ”, B là biến cố “Nhân viên được chọn là nữ”, suy ra $\overline{B}$ là biến cố “Nhân viên được chọn là nam”.

Ta có P(B) = 0,6 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,6 = 0,4.

Từ giả thiết ta có: P(A | B) = 0,08 và P(A | $\overline{B}$) = 0,05.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$) = 0,6 ∙ 0,08 + 0,4 ∙ 0,05 = 0,068.

b) Ta cần tính P($\overline{B}$| A). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

                       P($\overline{B}$| A) = $\frac{P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4\cdot 0,05}{0,068}=\frac{5}{17}$.

B.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(AB) = 0,4. Tính P(A | B) được kết quả là

A. $\frac{4}{7}.$

B. $\frac{1}{5}.$

C. $\frac{4}{5}.$

D. $\frac{1}{7}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,4}{0,7}=\frac{4}{7}.$

Bài 2. Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(AB) = 0,4. Xác suất của biến cố B không xảy ra với điều kiện biến cố A xảy ra là

A. 0,8.

B. $\frac{3}{7}.$

C. 0,2.

D. $\frac{5}{6}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xác suất của biến cố B không xảy ra với điều kiện biến cố A xảy ra chính là xác suất có điều kiện P($\overline{B}$| A).

Ta có P(B | A) = $\frac{P\left(BA\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4}{0,5}=\frac{4}{5}.$

Khi đó, P($\overline{B}$| A) = 1 – P(B | A) = $1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$ = 0,2.

Bài 3. Nếu hai biến cố A và B thỏa mãn P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,3$ thì  P(A) bằng

A. 0,4.

B. 0,54.

C. 0,55.

D. 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì P(B) = 0,6 suy ra $P\left(\overline{B}\right)$ = 1 – P(B) = 1 – 0,6 = 0,4.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + $P\left(\overline{B}\right)$ ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,6 ∙ 0,7 + 0,4 ∙ 0,3 = 0,54.

Bài 4. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,5; P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,4 thì ta có P(B | A) bằng

A. 0,7.

B. 0,5.

C. 0,48.

D. 0,58.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức Bayes, ta có P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,6\cdot 0,4}{0,5}=0,48$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Lý thuyết Chương 2: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân

Lý thuyết Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Lý thuyết Chương 6: Xác suất có điều kiện