Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

A. Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Xét sự biến thiên của hàm số Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) Lập BBT của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng 3. Vẽ đồ thị của hàm số Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (trong trường hợp đơn giản), … Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có)

2. Khảo sát hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-4$

1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
• Trên khoảng $\left(0;2\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại
• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$
• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;4\right)$
• Ta có: y = 0 $\iff$x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(2;0\right)$
• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; – 2} \right)\

3. Khảo sát hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\prime }=-\frac{3}{{(x-2)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$
• Hàm số không có cực trị
• Tiệm cận: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=1;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\mathrm{\infty }=1$

                  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1

• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

4. Khảo sát hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}(a\ne 0,p\ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$

• Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{{(x-2)}^2}$ . Vậy y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3
• Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này
• Trên các khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này
• Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với $y_{CT}=5$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$; $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1

• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$
• Ta có: $y=0\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;3\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(t)

c) Đạo hàm của hàm số y = f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm ?

Giải:

a) Ta có: $f(52)=\frac{26.52+10}{52+5}=\frac{1362}{57}\approx 23,895$ (nghìn người)

Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23895 nghìn người

b)

1) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)=26$. Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• BBT:

$f^{\prime }(t)=\frac{120}{{(t+5)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;2)
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;6). Vậy đồ thị hàm số $y=f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$, $t\ge 0$ được cho ở hình vẽ sau

c)

• Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó là:

$f^{\prime }(52)=\frac{120}{{(52+5)}^2}=\frac{40}{1083}$

• Ta có:

$f^{\prime }(t)=0,192\iff \frac{120}{{(t+5)}^2}=0,192\iff (t+5{)}^2=625\iff t=20$ (do $t\ge 0$)

Vậy vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.

Sơ đồ tư duy Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

B. Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 1. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:

A. $y=\frac{x-7}{x-5}$

B. $y=\frac{x-5}{x-1}$

C. $y=\frac{5x}{x-1}$

D. $y=\frac{x-3}{x-5}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

+) x = 5 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó loại B và C.

+) Hàm số nghịch biến trên (−∞; 5) và (5; +∞).

Xét đáp án A. Có $y^{‘}=\frac{2}{{\left(x-5\right)}^2}>0,\forall x\ne 5$ nên loại đáp án A.

Xét đáp án D. Có $y^{‘}=\frac{-2}{{\left(x-5\right)}^2}<0,\forall x\ne 5$. Do đó chọn đáp án D.

Bài 2. Đồ thị của hàm số y = −x³ + 3x² – 1 là hình nào dưới đây

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì đồ thị hàm số y = −x³ + 3x² – 1 cắt trục tung tại (0; −1). Do đó chọn B.

Bài 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

a) y = −x³ – x;

b) $y=\frac{-x+3}{x-1}$

Hướng dẫn giải

a) y = −x³ – x

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

Có y’ = −3x² – 1 < 0, ∀x ∈ ℝ.

Do đó hàm số luôn nghịch biến.

Hàm số đã cho không có cực trị.

• Các giới hạn tại vô cực

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(-1-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(-1-\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$

• Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và điểm (1; −2).

Đồ thị hàm số nhận (0; 0) làm tâm đối xứng.

b) $y=\frac{-x+3}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

Có $y^{‘}=-\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}<0,\forall x\ne 1$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị

• Tiệm cận

Có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{-x+3}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-x+3}{x-1}=+\infty$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x+3}{x-1}=-1$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+3}{x-1}=-1$

Do đó y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với Ox tại (3; 0) và giao với Oy tại (0; −3).

Tâm đối xứng của đồ thị là (1; −1).

Các trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = −1.

Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x^2-4x+8}{x-2}$

Hướng dẫn giải

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

Có $y^{‘}=\frac{\left(4x-4\right)\left(x-2\right)-\left(2x^2-4x+8\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{2x^2-8x}{{\left(x-2\right)}^2}$

y’ = 0 $\iff$ 2x² – 8x = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 4.

Trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞), có y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 2) và (2; 4), có y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = 12.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-4x+8}{x-2}=+\infty ;$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-4x+8}{x-2}=-\infty$

Có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x^2-4x+8}{x-2}=-\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x^2-4x+8}{x-2}=+\infty$

Do đó x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-4x+8}{x^2-2x}=2;$ $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2-4x+8}{x-2}-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8}{x-2}=0$

Tương tự $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-4x+8}{x^2-2x}=2;$ $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2-4x+8}{x-2}-2x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{8}{x-2}=0$

Do đó y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với Oy tại (0; −4).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là (2; 4).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = 2x.

Bài 5.Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được s(t) (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau: $s\left(t\right)=e^{t^2+3}+2t{e}^{3t+1}$ (km). Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian).

Hướng dẫn giải

Ta có $v\left(t\right)=s^{‘}\left(t\right)=2t{e}^{t^2+3}+2e^{3t+1}+6t{e}^{3t+1}$

Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là: $v\left(1\right)=2e^{1^2+3}+2e^{3.1+1}+6e^{3.1+1}=10e^4$ (km/s).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm