Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

A. Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm

Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập $K\subset R$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng – Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K – Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$

Định lý 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập $K\subset R$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu f’(x) $\ge$ 0 (hoặc f’(x) $\le$ 0) với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K

Ví dụ: Hàm số $y=x^2-4x+2$ có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với $x\in (2;+\mathrm{\infty })$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$

y’ < 0 với $x\in (-\mathrm{\infty };2)$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập $K\subset R$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và $x_0\in K,x_1\in K$ – $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ sao cho (a;b) $\subset$ K và $f(x)<f(x_0)$ với mọi $x\in (a;b)$ và $x\ne x_0$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là – $x_1$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ sao cho (c;d) $\subset$ K và $f(x)>f(x_1)$ với mọi $x\in (c;d)$ và $x\ne x_1$. Khi đó, $f(x_1)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là $f_{CT}$ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và $y_{CT}$= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và $y_{CT}$= y(1) = 2

Định lý

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Khi đó: a) Nếu f’(x) < 0 với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) > 0 với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm $x_0$ b) Nếu f’(x) > 0 với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) < 0 với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm $x_0$

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+30$.

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-12x+9$; y’ = 0 $\iff$x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

 

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và $y_{CT}$= y(3) = 30

B. Bài tập Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (– ∞; 0).

B. (0; 2).

C. (– 2; 0).

D. (2; + ∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y’ > 0 với mọi x ∈ (0; 2) nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có hai cực trị.

C. Cực đại bằng – 1.

D. Cực tiểu bằng – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số y = f(x) có đạt cực tiểu tại điểm x = 3, y_CT = – 2; đạt cực đại tại điểm x = – 1, y_CĐ = 2.

Vậy các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ + 3x² – 9x + 15;

b) y = – x⁴ + 2x² – 4;

c) $y=\frac{x-1}{x+2};$

d) $y=\frac{x^2+4}{x}.$

Hướng dẫn giải

a) y = x³ + 3x² – 9x + 15

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y’ = 3x² + 6x – 9;

y’ = 0 ⇔ 3x² + 6x – 9 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 3) và (1; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 3; 1).

b) y = – x⁴ + 2x² – 4

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y’ = – 4x³ + 4x;

y’ = 0 ⇔– 4x³ + 4x = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (0; 1); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 0) và (1; + ∞).

c) $y=\frac{x-1}{x+2}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {– 2}.

Ta có $y‘=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}$ ; y’ > 0 với mọi x ≠ – 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

d) $y=\frac{x^2+4}{x}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {0}.

Ta có $y‘=\frac{x^2-4}{x^2};$

y’ = 0 ⇔ $\frac{x^2-4}{x^2}=0$ ⇔ x = – 2 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (2; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (0; 2).

Bài 4. Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² – 9x + 1;

b) y = – x⁴ + 8x² – 7;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}.$

Hướng dẫn giải

a) y = x³ – 3x² – 9x + 1

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y’ = 3x² – 6x – 9;

y’ = 0 ⇔3x² – 6x – 9 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = – 1; đạt cực tiểu tại điểm x = 3.

b) y = – x⁴ + 8x² – 7

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y’ = – 4x³ + 16x;

y’ = 0 ⇔– 4x³ + 16x = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = – 2 và x = 2; đạt cực tiểu tại điểm x = 0.

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{1}.

Ta có $y‘=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

y’ = 0 ⇔ $\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=0$$\iff x=1-\sqrt{2}$ hoặc $x=1+\sqrt{2}$

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1-\sqrt{2}$ ; đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}.$

Bài 5. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 3 m với vận tốc ban đầu là 39,2 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức

h(t) = 3 + 39,2t – 4,9t².

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số h(t) = 3 + 39,2t – 4,9t².

Tập xác định của hàm số là [0; + ∞).

Ta có h'(t) = 39,2 − 9,8t;

h'(t) = 0 $\iff$ t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số h(t) đạt cực đại tại t = 4, h(t)_CĐ = 81,4.

Vậy tại thời điểm t = 4 thì vật đạt độ cao lớn nhất là 81,4 m.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Lý thuyết Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ