Giải SGK Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 12: Hình vuông

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 107 Toán 8 Tập 1: Đường chéo của hình vuông có những tính chất gì?

Lời giải

Hình vuông có tất cả các hình chữ nhật và hình thoi

⇒ Hai đường chéo của hình vuông có tính chất:

Hai đường chéo bằng nhau

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Hai đường chéo vuông góc với nhau.

Câu hỏi 2 trang 108 Toán 8 Tập 1:Tìm các hình vuông trên hình 105.

Lời giải

Xét tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC = BD

⇒ ABCD là hình chữ nhật

Hình chữ nhật ABCD có AB = BC

⇒ ABCD là hình vuông

Xét tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP = NQ

⇒ MNPQ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O

⇒ MNPQ là hình vuông

Xét tứ giác RSTU có 4 cạnh RS = ST = TU = RU

⇒ RSTU là hình thoi

Hình thoi RSTU có một góc vuông

⇒ RSTU là hình vuông

Bài tập (trang 108, 109)

Bài 79 trang 108 Toán 8 Tập 1: a) Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó bằng: 6cm, $\sqrt{18}$cm, 5cm hay 4cm?

b) Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh của hình vuông đó bằng:

1dm, $\frac{3}{2}$dm, $\sqrt{2}$dm hay $\frac{4}{3}dm?$

Lời giải:

a)

Gọi đường chéo của hình vuông có độ dài là a.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ADC, ta có:

a² = 3² + 3² = 18

Suy ra $a=\sqrt{18}$cm.

Vậy đường chéo của hình vuông đó bằng $3\sqrt{2}$(cm).

b)

Gọi cạnh của hình vuông là a.

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác ADC, ta có:

a² + a² = 2² 

⇒ 2a² = 4

⇒ a² = 2

$\Rightarrow a=\sqrt{2}dm$

Vậy cạnh của hình vuông đó bằng $\sqrt{2}$ (dm).

Bài 80 trang 108 Toán 8 Tập 1: Hãy chỉ rõ tâm đối xứng của hình vuông, các trục đối xứng của hình vuông.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo

+ Hình vuông cũng là hình bình hành nên nhận O là tâm đối xứng của hình vuông ABCD.

+ Hình vuông cũng là hình thoi nên nhận hai đường chéo AC và BD là các trục đối xứng.

+ Hình vuông cũng là hình thang cân nên nhận đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện là trục đối xứng.

Vậy hình vuông có 1 tâm đối xứng và 4 trục đối xứng như trên.

Bài 81 trang 108 Toán 8 Tập 1:Cho hình 106. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: $EA\perp AC,DF\perp AC\Rightarrow EA//DF$

Ta lại có: $ED\perp AB,AF\perp AB\Rightarrow ED//AF$

Xét tứ giác AEDF có:

EA // DF (cùng vuông góc AF)

DE // FA (cùng vuông góc AE)

⇒ AEDF là hình bình hành (theo định nghĩa)

Hình bình hành AEDF có đường chéo AD là phân giác của góc $\widehat{BAC}$

⇒AEDF là hình thoi.

Hình thoi AEDF có $\widehat{EAD}=90°$

⇒ AEDF là hình vuông.

Bài 82 trang 108 Toán 8 Tập 1:Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Ta có: EB = AB – AE, CF = BC – BF,

DG = DC – CG, AH = AD – DH

Mà AE = BF = CG = DH (gt)

và AB = BC = CD = DA (cmt)

$\Rightarrow$ BE = CF = DG = HA

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta BFE$, có:

$\widehat{EAH}=\widehat{FBE}=90°$

AE = BF (gt)

HA= BE (cmt)

$\Rightarrow$ ΔAEH = ΔBFE (c – g – c)

$\Rightarrow$ EH = FE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét $\Delta CGF$ và $\Delta BFE$, có:

$\widehat{GCF}=\widehat{FBE}=90°$

CG = BF (gt)

CF = BE (cmt)

$\Rightarrow$ ΔCGF = ΔBFE (c – g – c)

$\Rightarrow$ GF = FE (hai cạnh tương ứng) (2)

Xét ΔCGF và ΔDHG, có:

$\widehat{GCF}=\widehat{HDG}=90°$

CG = DH (gt)

CF = DG (cmt)

$\Rightarrow$ ΔCGF = ΔDHG (c – g – c)

$\Rightarrow$ GF = HG (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: HE = EF = FG = GH.

Suy ra tứ giác EFGH là hình thoi

Vì ΔAEH = ΔBFE (cmt)

$\Rightarrow \widehat{AHE}=\widehat{\text{BEF}}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHE}+\widehat{\text{AEH}}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{\text{BEF}}=90°$

Ta lại có: $\widehat{AEH}+\widehat{\text{BEF}}+\widehat{\text{HEF}}=180°$

$\widehat{\text{HEF}}=180°-\left(\widehat{AEH}+\widehat{\text{BEF}}\right)={180}^0-{90}^0={90}^0$

Hình thoi EFGH có $\widehat{\text{HEF}}={90}^0$ nên EFGH là hình vuông.

Bài 83 trang 109 Toán 8 Tập 1:Các câu sau đúng hay sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

b) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.

c) Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau.

d) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

e) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

Lời giải:

a) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau chưa đủ dữ kiện để khẳng định tứ giác này là hình thoi. Do đó a) sai.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác đó là hình bình hành.

Mà hai đường chéo này lại vuông góc với nhau nên tứ giác này là hình thoi.

Do đó b) đúng.

c) “Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau” là định nghĩa của hình thoi nên c) đúng.

d) Hình chữ nhật luôn có hai đường chéo bằng nhau nên d) sai.

e) “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông” là dấu hiệu nhận biết hình vuông. Do đó e) đúng.

Bài 84 trang 109 Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông?

Lời giải:

a) Xét tứ giác AEDF, có: DE // AF, DF // AE (gt)

Suy ra AEDF là hình bình hành.

b) Giả sử AEDF là hình thoi khi đó AD là tia phân giác của góc A.

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF có $\widehat{EAF}={90}^0$ nên AEDF là hình chữ nhật.

d) Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

Bài 85 trang 109 Toán 8 Tập 1:Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AB $\Rightarrow AE=EB=\frac{AB}{2}$

Vì F là trung điểm của CD $\Rightarrow CF=DF=\frac{CD}{2}$

Ta có: AB = CD = 2AD = 2BC

⇒ AE = EB = BC = CF = FD = DA.

+ Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF

⇒ ADFE là hình bình hành.

Hình bình hành ADFE có $\widehat{DAE}={90}^0$

⇒ ADFE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ADFE là hình chữ nhật có AE = AD

⇒ ADFE là hình vuông.

b) Vì AEFD là hình vuông nên ta có:

$\text{AF}\perp DE\Rightarrow \widehat{EMF}={90}^0$(hai đường chéo vuông góc)

$\widehat{AED}=\widehat{FED}=\frac{\widehat{AEF}}{2}=\frac{{90}^0}{2}={45}^0$(ED là phân giác của $\widehat{AEF}$)

$ME=MF=\frac{DE}{2}=\frac{FA}{2}$

Tứ giác EBCF có EB // CF, EB = CF nên EBCF là hình bình hành

Hình bình hành EBCF có $\widehat{EBC}={90}^0$

⇒ EBCF là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật EBCF là hình chữ nhật có BE = BC

⇒ EBCF là hình vuông.

$CE\perp BF\Rightarrow \widehat{ENF}={90}^0$ (hai đường chéo vuông góc)

$\widehat{FEC}=\widehat{BEC}=\frac{\widehat{\text{BEF}}}{2}=\frac{{90}^0}{2}={45}^0$(EC là phân giác của )

Ta có: $\widehat{MEN}=\widehat{\text{MEF}}+\widehat{\text{NEF}}={45}^0+{45}^0={90}^o$

Xét tứ giác MENF có: $\widehat{MEN}=\widehat{\text{EMF}}=\widehat{\text{ENF}}={90}^o$

Suy ra MENF là hình chữ nhật

Lại có ME = MF nên EMFN là hình vuông.

Bài 86 trang 109 Toán 8 Tập 1: Đố. Lấy một tờ giấy gấp làm tư rồi cắt chéo theo nhát cắt AB (h.108). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác nhận được là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì?

Lời giải:

– Tứ giác nhận được theo nhát cắt của AB là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

– Nếu có thêm OA = OB thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.