50 Bài tập Hình thoi (có đáp án)- Toán 8

Bài tập Toán 8 Chương 1 Bài 11: Hình thoi

A. Bài tập Hình thoi

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Khoanh tròn vào phương án đúng trong các phương án sau ?

A. Hình thoi là tứ giác có bốn góc bằng nhau.

B. Hình thoi là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau.

C. Hình thoi là tứ giác có ba góc vuông.

D. Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Lời giải:

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Chọn đáp án D.

Bài 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai về hình thoi ?

A. Hai đường chéo bằng nhau.

B. Hai đường chéo vông góc và là các đường phân giác của các góc hình thoi.

C. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

D. Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau.

Lời giải:

Định lí: Trong hình thoi:

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

⇒ Đáp án A sai.

Chọn đáp án A.

Bài 3: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài lần lượt là 8cm và 10cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó là ?

A. 6cm.   

B. $\sqrt{41}$ cm.

C. $\sqrt{164}$ cm. 

D. 9cm.

Lời giải:

Độ dài đường chéo của hình thoi lần lượt là

→ Độ dài đường chéo của hình thoi là:

Chọn đáp án B.

Bài 4: Hình thoi có độ dài các cạnh là thì chu vi của hình thoi là ?

A. 8cm.   

B. 4⁴cm.

C. 16cm.   

D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Chu vi của hình thoi là P_ht = 4 + 4 + 4 + 4 = 16( cm ).

Chọn đáp án C.

Bài 5: Các phương án sau, phương án nào sai?

A. Các trung điểm của bốn cạnh hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

B. Các trung điểm của bốn cạnh hình thoi là bốn đỉnh của hình chữ nhật.

C. Giao điểm của hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi đó.

D. Hình thoi của bốn trục đối xứng.

Lời giải:

Định lí:

+ Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

+ Có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Mở rộng:

+ Trong hình chữ nhật, các trung điểm của các cạnh hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

+ Trong hình thoi, các trung điểm của bốn cạnh hình thoi là các hình chữ nhật.

→ Đáp án D sai.

Chọn đáp án D.

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm hai đường chéo. Biết rằng AC = 6cm và BD = 8cm và AD = 5cm. Tìm khẳng định sai ?

A. Tứ giác ABCD là hình thoi

B. AI = BC

C. AB = BC

D. CD = 5

Lời giải:

Theo tính chất hình bình hành ta có: I là trung điểm của AC và BD.

Suy ra:

Xét tam giác AID có: AI² + ID² = AD² (3² + 4² = 5² = 25)

Suy ra: tam giác AID là tam giác vuông: AI ⊥ DI hay AC ⊥ BD

Hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Suy ra: AB = BC = CD = DA = 5cm

Chọn đáp án B

Bài 7: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo, biết AC = 16cm và OB = 6cm. Tính CD?

A. 6cm    

B. 8cm

C. 7cm    

D.10cm

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên: AO = OC = $\frac{1}{2}$ AC = 8cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

AB² = AO² + OB² = 8² + 6² = 100 nên AB = 10cm

Vì ABCD là hình thoi nên AB = CD = 10cm

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho tam giác ABC , gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AC; AB và BC. biết AB = BC. Hỏi tứ giác NMPB là hình gì?

A. Hình thoi

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình thang

Lời giải:

* Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra: MN// BC và

* Lại có: P là trung điểm của BC nên

Từ (1) và (2) suy ra: MN = BP.

Tứ giác NMPB có 2 cạnh đối MN và BP song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

* Lại có: N là trung điểm của AB nên

Theo giả thiết AB = BC nên từ (1) và (2) suy ra: BP = BN

Hình bình hành NMPB có 2 cạnh kề BP và BN bằng nhau nên là hình thoi.

Chọn đáp án A

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến. Điểm D đối xứng với điểm A qua M. Hỏi tứ giác ABDC là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình thoi

D. Hình thang cân

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

AM ⊥ BC và M là trung điểm của BC.

Do D đối xứng vơi A qua M nên M là trung điểm của AD.

Tứ giác ABDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có: AD ⊥ BC nên tứ giác ABDC là hình thoi.

Chọn đáp án C

Bài 10: Cho hình thoi ABCD có CD = 4cm và $\widehat{ABD}$ = 30^o. Tính AC

A. 3cm    

B. 2cm

C. 6cm    

D. 4cm

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên BD là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$

Suy ra: $\widehat{ABC}=2\widehat{ABD}$ = 60^o

Xét tam giác ABC có AB = BC (vì ABCD là hình thoi) và $\widehat{ABC}$ = 60^o

Suy ra: tam giác ABC là tam giác đều.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA =4cm

Suy ra : AC = AB = BC = 4cm.

Chọn đáp án D

Bài 11: Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi. Hãy chọn câu đúng.

A. MP = QN

B. AC ⊥ BD   

C. AB = AD   

D. AC = BD

Lời giải:

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC; MN = AC (1)

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên PQ // AC; PQ = AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ

Mà MN = AC (cmt); MQ = BD (do MQ là đường trung bình tam giác ABD)

Suy ra AC = BD

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD

Đáp án cần chọn là: D

Bài 12: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng:

A. 45⁰             

B. 90⁰             

C. 60⁰             

D. 75⁰

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác EDFB có   nên EDFB là hình bình hành suy ra 

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD ⇒ EP = BE

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD ⇒ QF = DF

Mà BE = DF (cmt) ⇒ EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có  ⇒ EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD ⇒   = 90⁰.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 13: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

A. 12cm         

B. 13cm          

C. 14cm          

D. 15cm

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =10cm, BD = 24cm

Do ABCD là hình thoi nên:

 

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

Suy ra AB = 13cm

Đáp án cần chọn là: B

Bài 14: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 12cm và 16cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

A. 12cm         

B. 8cm

C. 20cm          

D. 10cm

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =12cm, BD = 16cm

Do ABCD là hình thoi nên:

 

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

Suy ra AB = 10cm

Đáp án cần chọn là: D

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D.

1. Tứ giác AMBM’ là hình gì?

A. Hình thoi   

B. Hình chữ nhật

C. Hình bình hành

D. Hình thang

Lời giải:

Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’ (1)

M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra MD // AC (2)

Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM ⊥ AB ⇒ MM’ ⊥ AB.

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành. Mặt khác MM’ ⊥ AB nên AMBM’ là hình thoi.

Đáp án cần chọn là: A

2. Cho BC = 4cm. Tính chu vi tứ giác AMBM’.

A. 6cm

B. 9cm

C. 16cm          

D. 8cm

Lời giải:

Vì BC = 4cm nên BM =  = 2cm

Chu vi tứ giác AMBM’ bằng 4.BM = 4.2 = 8cm

Đáp án cần chọn là: D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Hướng dẫn:

Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}={90}^{\circ }$ (1)

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ta được:

• AM = MB; CP = PD
• AQ = QD; BN = NC
• AB = CD; AD = BC

$\Rightarrow$ MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau

$\Rightarrow$ MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài 2 Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE và AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Hướng dẫn:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC $\perp$ BD tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD ta được:

• AB = AD
• $\hat{B}=\hat{D}$
• BE = DF

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABE = $\mathrm{\Delta }$ADF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_4}$ (1)

Điều này chứng tỏ $\mathrm{\Delta }$AGH có đường cao AO đồng thời là đường phân giác nên $\mathrm{\Delta }$AGH cân tại A $\Rightarrow$ HO = OG (2)

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ABCD ta được AO = OC (3)

Từ (1), (2) và (3) có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của $\widehat{HAG}$ nên nó là hình thoi.

Bài 3 Tìm các hình thoi trên hình 102.

Lời giải:

Các tứ giác ở hình 102a, b, c, e là hình thoi.

– Hình 102a: ABCD là hình thoi vì có AB = BC = CD = DA

– Hình 102b: EFGH là hình thoi vì:

EF = GH và EH = FG ⇒ EFGH là hình bình hành

Lại có EG là tia phân giác của Ê

⇒ EFGH là hình bình hành. (Dấu hiêu 4).

– Hình 102c: KINM là hình thoi vì:

IKMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ IKMN là hình bình hành

Lại có IM ⊥ KN

⇒ IKMN là hình thoi. (Dấu hiệu 3).

– Hình 102e: ADBC là hình thoi vì:

AC = AD = AB (C, B, D cùng thuộc đường tròn tâm A).

BC = BA = BD (A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm B)

⇒ AC = CB = BD = DA

⇒ ACBD là hình thoi.

– Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi vì 4 cạnh không bằng nhau.

Bài 4 Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào?

Lời giải:

– Gọi ABCD là hình thoi, O là giao điểm hai đường chéo.

Bài 5 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Ta có: EB = EA, FB = FA (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

Do đó EF // AC

HD = HA, GD = GC (gt) nên HG là đường trung bình của ΔADC.

Do đó HG // AC

Suy ra EF // HG         (1)

Chứng minh tương tự EH // FG         (2)

Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình bình hành

Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH

Hình bình hành EFGH có Ê = 90º nên là hình chữ nhật

Bài 6 Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Lời giải:

a) Hình bình hành nhận giao điểm 2 đường chéo là tâm đối xứng.

Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm của 2 đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình.

b)

Lấy 1 điểm M bất kì thuộc hình thoi.

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua BD

⇒ M’ luôn thuộc hình thoi.

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Tương tự như thế ta có AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Bài 7 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải:

Mà AB = DC (ABCD là hình chữ nhật)

=> AE = BE = DG = GC.

Chứng minh tương tự ta có AH = HD = FB = FC

Xét ΔEAH và ΔGDH có:

AE = DG;

=> ΔEAH = ΔGDH => HE = HG.

Chứng minh tương tự ta có: EH = EF = GH = GF

Vậy EFGH là hình thoi (theo định nghĩa)

Bài 8 Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, O nằm trên một đường thẳng?

Lời giải:

Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi nên KI là phân giác của góc EKF, KM là phân giác của góc GKH.

Suy ra I, K, M thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, O cùng nằm trên 1 đường thẳng.

Bài 9 Chứng minh rằng tứ giác ABCD trên hình 100 cũng là một hình bình hành.

Lời giải

ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành

Bài  10 Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O (h.101).

a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì?

b) Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo AC và BD.

Lời giải

a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

b) Xét ΔAOB và ΔCOB

AB = CB

BO chung

OA = OC ( O là trung điểm AC )

⇒ ΔAOB = ΔCOB (c.c.c)

⇒ $\widehat{AOB}=\widehat{COB}$, $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (các cặp góc tương ứng)

$\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ ⇒ BO là phân giác góc $\widehat{ABC}$

$\widehat{AOB}+\widehat{COB}$ = 180^o ⇒$\widehat{AOB}=\widehat{COB}$ = 180^o : 2 = 90^o

Chứng minh tương tự, ta kết luận được:

AC, BD là các đường phân giác của các góc của hình thang

và AC ⊥ BD tại O

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hình bình hành ABCD có AC $\perp$ CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình thoi.

Bài 2 Cho $\mathrm{\Delta }$ABC cân tại A, đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, I là trung điểm của DE. Tứ giác MHIK là hình gì? Vì sao?

Bài 3 Cho hình thoi ABCD. Trên hai cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM = DN. Gọi P, Q thứ tự là giao điểm của AM và AN với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác APCQ là hình thoi.

Bài 4 Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Hỏi cạnh của hình thoi bằng bao nhiêu?

Bài 5 Cho hình thoi ABCD có góc A tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đôi cạnh đó. Tính các góc của hình thoi.

Bài 6 Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH = 2cm. Tính các góc của hình thoi.

Bài 7 Hình thoi ABCD có $\hat{A}={60}^{\circ }$, kẻ hai đường cao BE và BF. Tam giác BEF là tam giác gì? Vì sao?

Bài 8 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng AB, M là trung điểm của AD, F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến CE và MF cắt BC ở N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?

b) Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$

Bài 9 Tìm các hình thoi trên hình 102.

Bài 10 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Bài 11 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Bài 12 Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng của hình thoi.

B. Lý thuyết Hình thoi

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi cũng là một hình bình hành.

Tổng quát: ABCD là hình thoi \Leftrightarrow AB = BC = CD = DA

2. Tính chất

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

Định lí: Trong hình thoi:

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

 

Hướng dẫn:

M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD

⇒ AM = MB; BN = NC; CP = DP; AQ = DQ

+ Xét Δ ABD có

⇒ MQ là đường trung bình của Δ ABD.

⇒ QM = 1/2BD = 1/2AC       ( 1 )

+ Xét Δ ABC có

⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC.

⇒ MN = 1/2BD = 1/2AC       ( 2 )

+ Xét Δ BCD có

⇒ NP là đường trung bình của Δ BCD.

⇒ NP = 1/2BD = 1/2AC       ( 3 )

+ Xét Δ ADC có

⇒ QP là đường trung bình của Δ ADC.

⇒ QP = 1/2BD = 1/2AC       ( 4 )

Từ ( 1 ),( 2 ),( 3 ),( 4 ) ⇒ MN = NP = PQ = QM.

⇒ MNPQ là hình thoi.